Question

【题目】定义：如图1，抛物线与轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足，则称点P为抛物线的勾股点。

（1）直接写出抛物线的勾股点的坐标；

（2）如图2，已知抛物线C：与轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件的点Q（异于点P）的坐标

Answer 1

【答案】（1）（0，1）；（2）y=﹣x2+x；（3）（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线勾股点的定义即可求解；

（2）作PG⊥x轴，由P点坐标求得AG=1、PG=、 PA=2，由tan∠PAB=知∠PAG=60°,从而求得AB=4，即B（4，0），运用待定系数法即可求解；

（3）由SΔABQ=SΔABP且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离为，据此可求解.

试题解析： （1）抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标为（0，1）；

（2）抛物线y=ax2+bx过原点，即点A（0，0），

如图，作PG⊥x轴于点G，

∵点P的坐标为（1，），

∴AG=1、PG=，PA==2，

∵tan∠PAB=，

∴∠PAG=60°，

在Rt△PAB中，AB=，

∴点B坐标为（4，0），

设y=ax（x﹣4），

将点P（1，）代入得：a=﹣，

∴y=﹣x（x﹣4）=﹣x2+x；

（3）①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为，

则有﹣x2+x =，

解得：x1=3，x2=1（不符合题意，舍去），

∴点Q的坐标为（3，）；

②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为﹣

则有﹣x2+x =﹣，

解得：x1=2+，x2=2﹣，

∴点Q的坐标为（2+，﹣）或（2﹣，﹣）；

综上，满足条件的点Q有3个：（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．