【题目】边长为a的正方形ABCD中,点E是BD上一点,过点E作EF⊥AE交射线CB于点F,连结CE.
(1)若点F在边BC上(如图);
①求证:CE=EF;
②若BC=2BF,求DE的长.
(2)若点F在CB延长线上,BC=2BF,请直接写出DE的长.
【答案】(1)①证明见解析;②DE=;(2)DE=.
【解析】
(1)①根据正方形的轴对称性可得△ABE≌△CBE,从而可得∠BAE=∠BCE,再根据∠ABC=∠AEF=90°,可得∠BAE=∠EFC,继而可得∠BCE=∠EFC,根据等角对等边即可得CE=EF;
②过点E作MN⊥BC,垂直为N,交AD于M,根据等腰三角形的性质结合已知条件可得,再根据四边形CDMN是矩形,△DME为等腰直角三角形,继而可求得ED的长;
(2)如图所示:过点E作MN⊥BC,垂直为N,交AD于M,由正方形的对称性可得△ABE≌△CBE,从而得∠BAE=∠BCE,继而由已知可得CE=EF,可得FN=CN,根据BC=2BF,可得FC=a,继而可得EN=BN=a,由此即可求得DE=a.
(1)①∵正方形ABCD关于BD对称,
∴△ABE≌△CBE,
∴∠BAE=∠BCE.
又∵∠ABC=∠AEF=90°,
∴∠BAE=∠EFC,
∴∠BCE=∠EFC,
∴CE=EF;
②过点E作MN⊥BC,垂直为N,交AD于M,
∵CE=EF,
∴N是CF的中点,
∵BC=2BF,
∴,
又∵四边形CDMN是矩形,△DME为等腰直角三角形,
∴CN=DM=ME,
∴ED=DM=CN=a;
(2)如图所示:过点E作MN⊥BC,垂直为N,交AD于M,
∵正方形ABCD关于BD对称,
∴△ABE≌△CBE,
∴∠BAE=∠BCE.
又∵∠ABF=∠AEF=90°,
∴∠BAE=∠EFC,
∴∠BCE=∠EFC,
∴CE=EF.
∴FN=CN.
又∵BC=2BF,
∴FC=a,
∴CN=a,
∴EN=BN=a,
∴DE=a.
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【题目】如图,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D、E是BC边上的点,将△ABD绕点A旋转,得到△ACD′.
(1)求∠DAD′的度数。
(2)当∠DAE=45°时,求证:DE=D′E;
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【题目】如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的⊙O与AD,AC分别交于点E,F,且∠ACB=∠DCE,tan∠ACB=,BC=2cm.以下结论:
①CD=cm; ②AE=DE; ③CE是⊙O的切线; ④⊙O的面积等于cm2.其中正确的结论有_____.(填序号)
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【题目】如图,四边形ABCD中,∠ABC=Rt∠.已知∠A=α,外角∠DCE=β,BC=a,CD=b,则下列结论错误的是( )
A. ∠ADC=90°﹣α+β B. 点D到BE的距离为bsinβ
C. AD= D. 点D到AB的距离为a+bcosβ
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【题目】某学校为了解本校九年级学生期末考试数学成续情况,决定进行抽样分析,已知该校九年级共有10个班,每班40名学生,请根据要求回答下列问题:
(1)若要从全年级学生中抽取一个40人的样本,你认为以下抽样方法中比较合理的有 .(只要填写序号)
①随机抽取一个班级的学生;②在全年级学生中随机抽取40名男学生:③在全年级10个班中各随机抽取4名学生.
(2)将抽取的40名学生的数学成绩进行分组,并绘制频数表和成分布统计图(不完整)如表格、图:①C、D类圆心角度数分别为 ;②估计全年级A、B类学生人数大约共有 .
成绩(单位:分) | 频数 | 频率 |
A类(80~100) | 0.3 | |
B类(60~79) | 0.4 | |
C类(40~59) | 8 | |
D类(0~39) | 4 |
(3)学校为了解其他学校数学成绩情况,将同层次的G学校和J学校的抽样数据进行对比,得下表:你认为哪所学校教学效果较好?说明你的理由.
学校 | 平均数(分) | 方差 | A、B类频率和 |
G学校 | 87 | 520 | 0.7 |
J学校 | 87 | 478 | 0.65 |
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【题目】如图,菱形ABCD中,∠A是锐角,E为边AD上一点,△ABE沿着BE折叠,使点A的对应点F恰好落在边CD上,连接EF,BF.
(1)若∠A=70°,请直接写出∠ABF的度数.
(2)若点F是CD的中点,
①求sinA的值;
②求证:S△ABE=SABCD.
(3)设=k, =m,试用含k的代数式表示m.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°.
(1)判断∠D是否是直角,并说明理由.
(2)求四边形ABCD的面积.
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【题目】已知△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A.∠A:∠B:∠C=3:4:5B.a:b:c=7:24:25
C.a2=b2﹣c2D.∠A=∠C﹣∠B
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6cm,AC=8cm,以斜边BC上距离B点6cm的点P为中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF,则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是_______cm2.
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