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【题目】边长为a的正方形ABCD中,点EBD上一点,过点EEFAE交射线CB于点F,连结CE.

(1)若点F在边BC上(如图);

①求证:CE=EF;

②若BC=2BF,求DE的长.

(2)若点FCB延长线上,BC=2BF,请直接写出DE的长.

【答案】(1)①证明见解析DE=;(2)DE=.

【解析】

(1)①根据正方形的轴对称性可得ABE≌△CBE,从而可得∠BAE=BCE,再根据∠ABC=AEF=90°,可得∠BAE=EFC,继而可得∠BCE=EFC,根据等角对等边即可得CE=EF;

②过点EMNBC,垂直为N,交ADM,根据等腰三角形的性质结合已知条件可得,再根据四边形CDMN是矩形,DME为等腰直角三角形,继而可求得ED的长;

(2)如图所示:过点EMNBC,垂直为N,交ADM,由正方形的对称性可得ABE≌△CBE,从而得∠BAE=BCE,继而由已知可得CE=EF,可得FN=CN,根据BC=2BF,可得FC=a,继而可得EN=BN=a,由此即可求得DE=a.

1)①∵正方形ABCD关于BD对称,

ABE≌△CBE,

∴∠BAE=BCE.

又∵∠ABC=AEF=90°,

∴∠BAE=EFC,

∴∠BCE=EFC,

CE=EF;

②过点EMNBC,垂直为N,交ADM,

CE=EF,

NCF的中点

BC=2BF,

又∵四边形CDMN是矩形,DME为等腰直角三角形,

CN=DM=ME,

ED=DM=CN=a;

(2)如图所示:过点EMNBC,垂直为N,交ADM,

∵正方形ABCD关于BD对称,

∴△ABE≌△CBE,

∴∠BAE=BCE.

又∵∠ABF=AEF=90°,

∴∠BAE=EFC,

∴∠BCE=EFC,

CE=EF.

FN=CN.

又∵BC=2BF,

FC=a,

CN=a,

EN=BN=a,

DE=a.

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(2)将抽取的40名学生的数学成绩进行分组,并绘制频数表和成分布统计图(不完整)如表格、图:①C、D类圆心角度数分别为   ②估计全年级A、B类学生人数大约共有   

成绩(单位:分)

频数

频率

A类(80~100)

0.3

B类(60~79)

0.4

C类(40~59)

8

D类(0~39)

4

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学校

平均数(分)

方差

A、B类频率和

G学校

87

520

0.7

J学校

87

478

0.65

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