Question

10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点（点P不与A、D重合），PE⊥BP，PE交DC于点E．
（1）求证：△ABP∽△DPE；
（2）设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等得到∠ABP=∠EPD，根据相似三角形的判定定理证明结论；
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（3）根据矩形的判定定理、结合一元二次方程计算即可．

解答 （1）证明：∵∠A=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，
∵PE⊥BP，
∴∠EPD+∠APB=90°，
∴∠ABP=∠EPD，
∵AB∥CD，∠A=90°，
∴∠D=90°，
∴△ABP∽△DPE；
（2）∵△ABP∽△DPE，
∴$\frac{AB}{PD}$=$\frac{AP}{DE}$，即$\frac{2}{5-x}$=$\frac{x}{y}$，
则y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x，0＜x＜5；
（3）当四边形ABED为矩形时，DE=AB=2，即y=2，
则-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x=2，
解得，x₁=1，x₂=4（舍去），
∴当AP=1时，四边形ABED能构成矩形．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，掌握相关的性质定理和判断定理是解题的关键，注意函数思想在解题中的灵活运用．