Question

【题目】在平面直角坐标系中，点A，B为反比例函数y＝（k＞0，x＞0）上的两个动点，以A，B为顶点构造菱形ABCD．

（1）如图1，点A，B横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴，菱形ABCD面积为，求k的值．

（2）如图2，当点A，B运动至某一时刻，点C，点D恰好落在x轴和y轴正半轴上，此时∠ABC＝90°，求点A，B的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）A（，），点B（，）

【解析】

（1）由菱形的性质可得BD=2BE=6，AC⊥DB，由菱形的面积公式可求AC＝，设点B（4，a），则点A（1， +a），代入解析式可求a的值，从而求出k的值；

（2）过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，设点A（m，）由全等三角形的性质可得AE=DO=CF=m，DE＝OC＝BF＝﹣m，可表示B坐标，代入解析式可求解．

解：（1）连接AC，交BD于点E，

∵点A，B横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴，

∴BE＝4﹣1＝3，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD＝2BE＝6，AC⊥DB，

∵菱形ABCD面积为，

∴×BD×AC＝，

∴AC＝，

∴AE＝CE＝，

设点B（4，a），则点A（1， +a），

∵点A，B为反比例函数y＝（k＞0，x＞0）上的两个点，

∴4a＝1×（+a），

∴a＝，

∴k＝4a＝；

（2）如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，

∴∠ADE+∠EAD＝90°，∠EDA+∠CDO＝90°，∠DCO+∠CDO＝90°，∠BCF+∠DCO＝90°，

∴∠EAD＝∠CDO＝∠BCF，且∠AED＝∠DOC＝90°，AD＝CD，

∴△AED≌△DOC（AAS），

∴AE＝DO，ED＝OC，

同理可得：BF＝OC，CF＝DO，

设点A（m，），

∴AE＝DO＝CF＝m，DE＝OC＝BF＝﹣m，

∴点B坐标（，﹣m），

∴（﹣m）＝，

∴m1＝，m2＝﹣（舍去），

∴点A（，），点B（，）．