Question

20．设在一条小巷内，∠A=∠B=90°，一个梯子的底脚位于点P处，当该梯子顶端靠在小巷一侧的墙上点Q时，梯子的倾斜角为45°，当顶端靠在小巷的另一侧墙上时，其顶端R离开地面高度为4米，且此时梯子的倾斜角为75°．
（1）求证：△PQR是等边三角形；
（2）求小巷的宽度AB的长．

Answer 1

分析 （1）由梯子长度不变可知：PQ=PR，然后再求得∠RPQ=60°，从而可证明△PRQ为等边三角形；
（2）过点Q作QC⊥AR，先求得∠CRQ=75°，然后证明△RAP≌△QCR，从而得到CQ=AR．

解答 解：（1）∵∠RPA=75°，∠QPB=45°，
∴∠QPR=60°．
∵PQ=PR，
∴△QPR为等边三角形．
（2）过点Q作QC⊥AR，垂足为C．

∵∠RPA=75°，
∴∠PRA=15°．
∵△QPR为等边三角形，
∴∠QRP=60°，PR=QR．
∴∠CRQ=75°．
∴∠CRQ=∠RPA．
在△RAP和△QCR中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CRQ=∠RPA}\\{∠A=∠RCQ}\\{PR=RQ}\end{array}\right.$，
∴△RAP≌△QCR．
∴CQ=AR=4米．
∵∠A=∠B=∠ACQ=90°，
∴四边形ABQC为矩形．
∴AB=CQ=4米．
∴小巷的宽度AB的长为4米．

点评 本题主要考查的是等边三角形的判定、矩形的判定、全等三角形的性质可判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．