Question

【题目】如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（0≤t≤60，单位秒）

（1）当t＝2时，求∠AOB的度数；

（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到63°时，求t的值；

（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而小于180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）162°；（2）27；（3）存在，当t的值分别为12、24秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线

【解析】

（1）先由题意计算出∠AOM和∠BON的度数，再由∠AOB＝180°﹣∠AOM﹣∠BON计算得到答案；
（2）当∠AOB第二次达到63°时，射线OB在OA的左侧，根据∠AOM+∠BON-∠MON=63°列方程求解可得；
（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有两种情况：
①OB平分∠AON时，根据∠BON＝∠AON，列方程求解；

②OB平分∠AOM时，根据∠AOM＝∠BOM，列方程求解.

解：（1）当t＝2时，∠AOM＝3°×2＝6°，∠BON＝6°×2＝12°，

所以∠AOB＝180°﹣∠AOM﹣∠BON＝162°；

（2）如图，

根据题意知：∠AOM＝3t，∠BON＝6t，

当∠AOB第二次达到63°时，∠AOM+∠BON﹣∠MON＝63°，

即3t+6t﹣180＝63，解得：t＝27．

故t＝27秒时，∠AOB第二次达到63°．

（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（大于0°而小于180°）的平分线有以下两种情况：

①OB平分∠AON时，

∵∠BON＝∠AON，

∴6t＝（180﹣3t），

解得：t＝12；

②OB平分∠AOM时，

∵∠AOM＝∠BOM，

∴t＝180﹣6t，

解得：t＝24．

综上，当t的值分别为12、24秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线．