Question

【题目】将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.

（1）求∠ADE的度数；

（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角，此时等腰直角三角尺记为， 交AC于点M， 交BC于点N，试判断的值是否随着的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）∠ADE=30°；（2）不变化，理由见解析.

【解析】将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.

（1）求∠ADE的度数；

（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角（0°＜＜60°），此时等腰直角三角尺记为， 交AC于点M， 交BC于点N，试判断的值是否随着的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由.

试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD=AB，根据等边对等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根据∠ADE=∠ADC-∠EDF计算即可得解；

（2）根据同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再根据然后求出△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BCD=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CPD=60°，从而得到∠CPD=∠BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例可得为定值．

试题解析：（1）∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，

∴CD=AD=BD=AB，

∴∠ACD=∠A=30°，

∴∠ADC=180°-30°×2=120°，

∴∠ADE=∠ADC-∠EDF=120°-90°=30°；

（2）不变化．

∵∠EDF=90°，

∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，

∴∠PDM=∠CDN，

∵∠B=60°，BD=CD，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠BCD=60°，

∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，

∴∠CPD=∠BCD，

在△DPM和△DCN中，

，

∴△DPM∽△DCN，

∴，

∵=tan∠ACD=tan30°=，

∴的值不随着α的变化而变化，是定值．