Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，矩形PQED的边PQ在线段BC上，D、E分别在AB、AC上，设BP为x．
（1）写出矩形PQED的面积y与x的函数关系式；
（2）连接PE，当PE∥BA时，求矩形PQED的面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）由条件可证明△BPD≌△CQE，可得BP=CQ=x，则PQ=DE=6-2x，过A作AF垂直BC，交BC于点F，则可求得AF=4，BF=3，利用平行可得

DP

AF

=

BP

BF

，可用x表示出PD，则可表示出y和x的关系式；
（2）当DE∥AB时，可得DE=BP=PQ，即x=6-2x，求得x=2，代入上式可求得矩形PQED的面积．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，且DP=QE，∠BPD=∠EQC=90°，
在△BPD和△CQE中，

∠B=∠C ∠BPD=∠EQC DP=QE

，
∴△BPD≌△CQE（AAS），
∴BP=CQ=x，
∴PQ=BC-BP-CQ=6-2x，
如图，过A作AF⊥BC，交BC于点F，

∵AB=AC=5，BC=6，
∴BF=3，可求得AF=4，
又∵PD∥AF，
∴

PD

AF

=

BP

BF

，即

PD

4

=

x

3

，
∴PD=

4

3

x，
∴y=PD•PQ=

4

3

x•（6-2x）=-

8

3

x²+8x；
（2）当PE∥AB时，且DE∥BP，
∴四边形BDEP为平行四边形，
∴DE=BP=x，
又∵DE=PQ=6-2x，
∴x=6-2x，
解得x=2，
∴y=-

8

3

×2²+8×2=

16

3

，
即矩形PQED的面积为

16

3

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和平行四边形和性质．在（1）中利用x表示出PD的长、在（2）中得到DE=BP是解题的关键．