Question

已知a、b是正实数，那么，是恒成立的．

（1）由恒成立，说明恒成立；

（2）如图，已知AB是直径，点P是弧上异于点A和点B的一点，PC⊥AB，垂足为C，AC=a，BC=b，由此图说明恒成立．

 

 

Answer 1

（1）见解析 （2）见解析

【解析】【解析】
（1）∵（﹣）2≥0，

∴a﹣2+b≥0，

∴a+b≥2，

∴；

（2）如图，连接OP，

∵AB是直径，

∴∠APB=90°，

又∵PC⊥AB，

∴∠ACP=∠APB=90°，

∴∠A+∠B=∠A+∠APC=90°，

∴∠APC=∠B，

∴Rt△APC∽Rt△PBC，

∴，

∴PC2=AC•CB=ab，

∴PC=，

又∵PO=，PO≥PC，

∴．

（1）由（﹣）2≥0，利用完全平方公式，即可证得恒成立；

（2）首先证得Rt△APC∽Rt△PBC，由相似三角形的对应边成比例，可求得PC=，又由OP是半径，可得OP是直径的一半，即OP=，然后由垂线段最短，即可证得恒成立．