【题目】(2016广东省梅州市第24题)(为方便答题,可在答题卡上画出你认为必要的图形)
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线过A,B,C三点,点A的坐标是,点C的坐标是,动点P在抛物线上.
(1)b =_________,c =_________,点B的坐标为_____________;(直接填写结果)
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.
【答案】(1)、-2,-3,(-1,0);(2)、(1,-4)或(-2,5);(3)、(,)或(,)
【解析】
试题分析:(1)、根据题意得出答案;(2)、分以点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况分别进行计算;两种情况都根据等腰直角三角形的性质得出点的坐标;(3)、根据垂线段最短,可得当OD⊥AC时,OD最短,即EF最短,根据OC=OA=3,OD⊥AC得出 D是AC的中点,从而得出点P的纵坐标,然后根据题意得出方程,从而求出点P的坐标.
试题解析:(1)、,, (-1,0).
(2)、存在.
第一种情况,当以C为直角顶点时,过点C作CP1⊥AC,交抛物线于点P1.过点P1作y轴的垂线,垂足是M.
∵OA=OC,∠AOC =90° ∴∠OCA=∠OAC=45°. ∵∠ACP1=90°, ∴∠MCP1 =90°-45°=45°=∠C P1M.
∴MC=MP1. 由(1)可得抛物线为.
设,则, 解得:(舍去),.
∴. 则P1的坐标是.
第二种情况,当以A为直角顶点时,过点A作AP2⊥AC,交抛物线于点P2,过点P2作y轴的垂线,垂足是N,AP2交y轴于点F. ∴P2N∥x轴. 由∠CAO=45°, ∴∠OAP2=45°. ∴∠FP2N=45°,AO=OF=3.
∴P2N=NF. 设,则. 解得:(舍去),.
∴, 则P2的坐标是.
综上所述,P的坐标是或
(3)、连接OD,由题意可知,四边形OFDE是矩形,则OD=EF.
根据垂线段最短,可得当OD⊥AC时,OD最短,即EF最短. 由(1)可知,在Rt△AOC中,
∵OC=OA=3,OD⊥AC, ∴ D是AC的中点. 又∵DF∥OC, ∴.
∴点P的纵坐标是 则, 解得:.
∴当EF最短时,点P的坐标是:(,)或(,).
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【题目】下列说法:①平角就是一条直线;②直线比射线线长;③平面内三条互不重合的直线的公共点个数有0个、1个、2个或3个;④连接两点的线段叫两点之间的距离;⑤两条射线组成的图形叫做角;⑥一条射线把一个角分成两个角,这条射线是这个角的角平分线,其中正确的有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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【题目】(2016广西省南宁市第24题)如图,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=x﹣2交于B,C两点.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)求证:△ABC是直角三角形;
(3)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知AB=AC,AE=AF,BE与CF交于点D,则对于下列结论:
①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③D在∠BAC的平分线上.
其中正确的是( )
A. ① B. ② C. ①和② D. ①②③
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【题目】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,
BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,请写出DE、AD、BE之间的等量关系并加以证明.
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE之间又有怎样的等量关系?请直接写出结论.
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