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【题目】(2016广东省梅州市第24题)(为方便答题,可在答题卡上画出你认为必要的图形)

如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线过A,B,C三点,点A的坐标是,点C的坐标是,动点P在抛物线上.

(1)b =_________,c =_________,点B的坐标为_____________;(直接填写结果)

(2)是否存在点P,使得ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;

(3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.

【答案】(1)、-2,-3,(-1,0);(2)、(1,-4)或(-2,5);(3)、()或(

【解析】

试题分析:(1)、根据题意得出答案;(2)、分以点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况分别进行计算;两种情况都根据等腰直角三角形的性质得出点的坐标;(3)、根据垂线段最短,可得当ODAC时,OD最短,即EF最短,根据OC=OA=3,ODAC得出 D是AC的中点,从而得出点P的纵坐标,然后根据题意得出方程,从而求出点P的坐标.

试题解析:(1)、 (-1,0).

(2)、存在.

第一种情况,当以C为直角顶点时,过点C作CP1AC,交抛物线于点P1.过点P1作y轴的垂线,垂足是M.

OA=OC,AOC =90° ∴∠OCA=OAC=45° ∵∠ACP1=90° ∴∠MCP1 =90°-45°=45°=C P1M.

MC=MP1 (1)可得抛物线为

,则 解得:(舍去),

则P1的坐标是

第二种情况,当以A为直角顶点时,过点A作AP2AC,交抛物线于点P2,过点P2作y轴的垂线,垂足是N,AP2交y轴于点F. P2Nx轴. CAO=45° ∴∠OAP2=45° ∴∠FP2N=45°,AO=OF=3.

P2N=NF. ,则 解得:(舍去),

则P2的坐标是

综上所述,P的坐标是

(3)、连接OD,由题意可知,四边形OFDE是矩形,则OD=EF.

根据垂线段最短,可得当ODAC时,OD最短,即EF最短. 由(1)可知,在RtAOC中,

OC=OA=3,ODAC, D是AC的中点. DFOC,

点P的纵坐标是 解得:

当EF最短时,点P的坐标是:()或().

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