Question

【题目】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图像，其中点A（-1,0）是x轴上的一个交点，点C是y轴上的交点．

（1）若过点A的直线l与这个二次函数的图像的另一个交点为D，与该图像的对称轴交于点E，与y轴交于点F，且DE＝EF＝FA．

①求的值；

②设这个二次函数图像的顶点为P，问：以DF为直径的圆能否经过点P？若能，请求出此时二次函数的关系式；若不能，请说明理由．

（2）若点C坐标为（0，-1），设S＝a＋b＋c ，求S的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)①；②；（2)

【解析】试题分析：（1）①由A（-1，0），得到OA=1，由DE=EF=FA，得到AO=OM=MN， OC=ND，由OF∥ND，得到，从而得到结论；

②由OA=1，AO=OM=MN，得到OM=MN=1，对称轴为x=1，从而得到b=-2a，抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），得到0=9a-6a+c，得到c=-3a，则y=ax2-2ax-3a，得到OC=ND=3a， OF=a，得到D，F，E，P的坐标，进而得到PE=2a，FE=ED=，

当以DF为直径的圆能否经过点P时，PE=FE=ED，有2a=，解方程即可得到结论．

（2）由二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过A（-1，0），C（0，-1），得到c=-1，b=a-1， 故S=2a-2，由a＞0，即可得到结论．

试题解析：解：（1）①∵A（-1，0），∴OA=1．∵DE=EF=FA，∴AO=OM=MN，∴OC=ND．∵OF∥ND，∴ ，∴；

②∵OA=1，AO=OM=MN，∴OM=MN=1，∴对称轴为x=1，∴ ，∴b=-2a，抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴0=9a-6a+c，解得：c=-3a，∴y=ax2-2ax-3a，∴OC=ND=3a，∴OF=a，∴D（2，-3a），F（0，-a），E(1，-2a)，P（1，-4a），∴PE=2a，FE=ED=，

当以DF为直径的圆能否经过点P时，PE=FE=ED，∴2a=，解得： （负数舍去），∴，∴．

（2）∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过A（-1，0），C（0，-1），∴a-b+c=0，c=-1，∴b=a-1，∴S=a+b+c=a+a-1-1=2a-2．∵a＞0，∴S=2a-2＞－2．