Question

如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，利用三角函数知识证明：
（1）AC²=AD•AB；
（2）BC²=BD•AB；
（3）CD²=AD•BD；
（4）若AC=6，AD=3，利用（1）、（2）、（3）的结论求AB、BC、CD的长．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：（1）先由同角的余角相等可得∠ACD=∠B=90°-∠BCD，则sin∠ACD=sin∠B，再根据正弦函数的定义得出

AD

AC

=

AC

AB

，由比例的基本性质即可证明AC²=AD•AB；
（2）先由同角的余角相等可得∠BCD=∠A=90°-∠ACD，则sin∠BCD=sin∠A，再根据正弦函数的定义得出

BD

BC

=

BC

AB

，由比例的基本性质即可证明BC²=BD•AB；
（3）先根据正切函数的定义得出tan∠A=

CD

AD

=

BC

AC

，tan∠B=

CD

BD

=

AC

BC

，再将两式相乘得到

CD

AD

•

CD

BD

=

BC

AC

•

AC

BC

=1，即可证明CD²=AD•BD；
（4）先由（1）的结论可得AB=

AC2

AD

=

62

3

12，于是BD=AB-AD=9，再根据（2）的结论得到BC²=BD•AB=9×12=108，那么BC=6

3

；然后根据（3）的结论得出CD²=AD•BD=3×9=27，于是CD=3

3

．

解答：（1）证明：∵Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，
∴∠ACD=∠B=90°-∠BCD，
∴sin∠ACD=sin∠B，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
∴AC²=AD•AB；

（2）证明：∵Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，
∴∠BCD=∠A=90°-∠ACD，
∴sin∠BCD=sin∠A，
∴

BD

BC

=

BC

AB

，
∴BC²=BD•AB；

（3）证明：∵Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，
∴tan∠A=

CD

AD

=

BC

AC

，tan∠B=

CD

BD

=

AC

BC

，
∴

CD

AD

•

CD

BD

=

BC

AC

•

AC

BC

=1，
∴CD²=AD•BD；

（4）解：∵AC=6，AD=3，
∴AB=

AC2

AD

=

62

3

12；
∵BD=AB-AD=12-3=9，
∴BC²=BD•AB=9×12=108，
∴BC=6

3

；
∵CD²=AD•BD=3×9=27，
∴CD=3

3

．

点评：本题考查了解直角三角形，余角的性质，比例的基本性质，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．