Question

【题目】在中，，，将绕点旋转角得，交于点，分别交、于、两点．

在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？证明你的结论；

当时，试判断四边形的形状，并说明理由；

在的情况下，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）．理由见解析；四边形是菱形．理由见解析；．

【解析】

（1）根据等边对等角的性质可得∠A=∠C，再根据旋转的性质可得∠ABE=∠C1BF，AB=BC=A1B=BC1，然后利用“角边角”证明△ABE和△C1BF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=BF，从而得解；

（2）先根据旋转的性质求出∠ABC1=150°，再根据同旁内角互补，两直线平行求出AB∥C1D，AD∥BC1，证明四边形BC1DA是平行四边形，又因为邻边相等，所以四边形BC1DA是菱形；

（3）过点E作EG⊥AB于点G，等腰三角形三线合一的性质可得AG=BG=2，然后解直角三角形求出AE的长度，再利用DE=AD-AE计算即可得解．

（1）．理由如下：

∵，

∴，

∵绕点顺时针旋转角得，

∴，，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

即；

四边形是菱形．理由如下：

∵旋转角，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

，

∴，，

∴四边形是平行四边形，

又∵，

∴四边形是菱形；

过点作，

∵，

∴，

在中，，

由知，

∴．