Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=﹣（x﹣m）2+n的顶点P在直线y=﹣x+4上，与y轴交于点C（点P、C不与点B重合），以BC为边作矩形BCDE，且CD=2，点P、D在y轴的同侧．

（1）n=________（用含m的代数式表示），点C的纵坐标是________（用含m的代数式表示）；

（2）当点P在矩形BCDE的边DE上，且在第一象限时，求抛物线对应的函数解析式；

（3）直接写出矩形BCDE有两个顶点落在抛物线上时m的值．

Answer 1

【答案】（1）﹣m+4 ；﹣ m2﹣m+4；（2）y=﹣（x﹣2）2+2；（3）m=1或﹣1或 或

【解析】

（1）由顶点在直线上得，求得当时，即可知点C的纵坐标；

（2）由矩形的性质结合可知DE与AB的交点P的坐标为，即可得出答案；

（3）①点C、D在抛物线上时，由可知对称轴为，即；②点C、E在抛物线上时，由和得，则4=﹣ （﹣2﹣m）2+（﹣m+4），解之可得答案．

解：（1）∵y=﹣ （x﹣m）2+n=﹣ x2+ mx﹣ m2+n，

∴顶点P（m，n），

∵P在直线y=﹣x+4上，

∴n=﹣m+4，

当x=0时，y=﹣ m2+n=﹣ m2﹣m+4，即点C的纵坐标为﹣ m2﹣m+4，

故答案为：﹣m+4，﹣ m2﹣m+4；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴DE∥y轴，

∵CD=2，

∴当x=2时，y=2，即DE与AB的交点坐标为（2，2），

∴当点P在矩形BCDE的边DE上时，抛物线的顶点P的坐标为（2，2），

∴抛物线对应的函数解析式为y=﹣ （x﹣2）2+2

（3）解：如图①②，点C、D在抛物线上时，由CD=2可知对称轴为x=±1，即m=±1；

如图③④，点C、E在抛物线上时，

由B（0，4）和CD=2得E（﹣2，4），

则4=﹣ （﹣2﹣m）2+（﹣m+4），

解得：m1= ，m2= ，

综上所述，m=1或﹣1或 或