Question

17．如图，在边长为$\sqrt{2}$的菱形ABCD中，∠B=45°，AE是BC边上的高，将△AEB沿AE所在直线翻折得△AEB₁，则△AEB₁与四边形AECF重叠部分的面积为$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质求出BE、AE，根据翻转变换的性质得到△FCB₁是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：∵AE⊥BC，∠B=45°，AB=$\sqrt{2}$
∴BE=AE=1，
∵将△AEB沿AE所在直线翻折得△AEB₁，
∴∠B₁=∠B=45°，
∴EB₁=BE=1，CB₁=2-$\sqrt{2}$，
∴△AEB₁的面积为$\frac{1}{2}$×AE×EB₁=$\frac{1}{2}$，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠FCB₁=∠B=45°，
∴△FCB₁是等腰直角三角形，
∴△FCB₁的面积为$\frac{1}{2}$×（2-$\sqrt{2}$）×$\frac{1}{2}$×（2-$\sqrt{2}$）=$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$，
∴△AEB₁与四边形AECF重叠部分的面积=$\frac{1}{2}$-（$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$-1，
故答案为：$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查的是翻转变换的性质和菱形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．