Question

如图1，△ABC和△CDE为等边三角形．

（1）求证：BD=AE；
（2）若等边△CDE绕点C旋转到BC、EC在一条直线上时，（1）中结论还成立吗？请给予证明；
（3）旋转到如图2位置时，若F为BD中点，G为AE中点，连接FG，求证：
①△CFG为等边三角形；
②FG∥BC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用等边三角形的性质证明△ACE≌△BCD即可；
（2）结论仍然成立，同（1）的方法证明；
（3）①由△ACE≌△BCD可证得△ACN≌△BCM，得出CM=CN；∠BCM=∠ACN，进一步得出∴∠CMN=∠CNM=

180°-∠CMN

2

=60°，可证得结论；
②由△ACE≌△BCD可证得△DCF≌△ECG，得CF=CG，可进一步得出∠CGF=∠CFG=∠DCE，结论得证．

解答：（1）证明：
∵等边三角形ABC和等边三角形CDE，
∴AC=BC；CD=CE，∠ACE=∠DCE-∠ACD=60°-∠ACD=∠ACB-∠ACD=∠BCD，
在△ACE和△BCD中

SC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD，
∴BD=AE，
（2）（1）中的结论仍然成立，证明如下：
∵BC=AC；CD=CE，∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠ACD+60°=∠ACD+∠ACB=∠BCD，
在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD，
∴BD=AE，
（3）①∵△ACE≌△BCD，
∴∠CBM=∠CAN；AE=BD，
∵M是BD中点，N是AE中点，
∴BM=AN，
又BC=AC，
∴△ACN≌△BCM，
∴CM=CN；∠BCM=∠ACN，
∴∠MCN=∠ACM+∠ACN=∠ACM+∠BCM=∠ACB=60°，
∴∠CMN=∠CNM=

180°-∠CMN

2

=60°，
∴△CMN是等边三角形，
②∵△ACE≌BCD，
∴∠CDF=∠CEG，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCF=60°=∠ECG，
又CD=CE，
∴△DCF≌△ECG，
∴CF=CG，
∴∠CGF=∠CFG=

180°-∠FCG

2

=60°=∠DCE，
∴FG∥BC．

点评：本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的运用，解题的关键是能利用等边三角形的性质得到相等的线段和相等的角，从而证得三角形全等，进一步证得结论．