【题目】如图,在菱形中,,与交于点 ,为延长线上的一点,且,连接分别交,于点 ,,连接,则下列结论中一定成立的是__________.
①;②与全等的三角形共有5个;③;④由点、、、构成的四边形是菱形
【答案】①④
【解析】
由AAS证明△ABG≌△DEG,得出AG=DG,证出OG是△ACD的中位线,得出OG=CD=AB,①正确;
先证明四边形ABDE是平行四边形,证出△ABD、△BCD是等边三角形,得出AB=BD=AD,因此OD=AG,得出四边形ABDE是菱形,④正确;
由菱形的性质得得出△ABG≌△BDG≌△DEG,由SAS证明△ABG≌△DCO,得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG,得出②不正确;
证出OG是△ABD的中位线,得出OG∥AB,OG=AB,得出△GOD∽△ABD,△ABF∽△OGF,由相似三角形的性质和面积关系得出S四边形ODGF=S△ABF;③不正确;即可得出结果.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA,AB∥CD,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,
∴∠BAG=∠EDG,△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD,
∵CD=DE,
∴AB=DE,
在△ABG和△DEG中,
,
∴△ABG≌△DEG(AAS),
∴AG=DG,
∴OG是△ACD的中位线,
∴OG=CD=AB,①正确;
∵AB∥CE,AB=DE,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∵∠BCD=∠BAD=60°,
∴△ABD、△BCD是等边三角形,
∴AB=BD=AD,∠ODC=60°,
∴OD=AG,四边形ABDE是菱形,④正确;
∴AD⊥BE,
由菱形的性质得:△ABG≌△BDG≌△DEG,
在△ABG和△DCO中,
,
∴△ABG≌△DCO(SAS),
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG,②不正确;
∵OB=OD,AG=DG,
∴OG是△ABD的中位线,
∴OG∥AB,OG=AB,
∴△GOD∽△ABD,△ABF∽△OGF,
∴△GOD的面积=△ABD的面积,△ABF的面积=△OGF的面积的4倍,AF:OF=2:1,
∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍,
又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积,
∴S四边形ODGF=S△ABF;③不正确;
正确的是①④.
故答案为:①④.
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【题目】如图,抛物线经过原点和点,顶点为,抛物线与抛物线关于原点对称.
(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标;
(2)已知点、在抛物线上的对应点分别为、,的对称轴交轴于点,则抛物线的对称轴上是否存在点,使得以、、为顶点的三角形与相似?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1,在中,点从点出发以的速度沿折线运动,点从点出发以的速度沿运动,两点同时出发,当某一点运动到点时,两点同时停止运动设运动时间为的面积为关于的函数图像由两段组成,如图2所示.
(1)求的值;
(2)求图2中图像段的函数表达式;
(3)当点运动到线段上某一段时,的面积大于当点在线段上任意一点时的面积,求的取值范围.(直接写出答案)
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【题目】“普洱茶”是云南有名的特产,某网店专门销售某种品牌的普洱茶,成本为30元/盒,每天销售(件)与销售单价(元)之间存在一次函数关系,如图所示.
(1)求与之间的函数关系式;
(2)如果规定每天该种普洱茶的销售量不低于240盒,该网店店主热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出500元给扶贫基金会,当销售单价为多少元时,每天获取的净利润最大,最大净利润是多少?(注:净利润=总利润-捐款)
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【题目】书法是我国的文化瑰宝,研习书法能培养高雅的品格某校为加强书法教学,了解学生现有的书写能力,随机抽取了部分学生进行测试,测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级,分别用,,,表示,并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
书写能力等级测试条形统计图:
书写能力等级测试扇形统计图:
请根据统计图中的信息解答以下问题:
(1)本次抽取的学生共有______人,扇形统计图中所对应扇形的圆心角是_______;
(2)把条形统计图补充完整;
(3)依次将优秀、良好、及格、不及格记为分、分、分、分,则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______,中位数是_______,平均数是________;
(4)若该校共有学生人,请估计一下,书写能力等级达到优秀的学生大约有多少人?
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【题目】如图,抛物线的与轴交于点,与轴交于点,
(1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标;
(2)若是线段上一动点,过作轴的平行线交抛物线于点,交于点,设时,的面积为.求关于的函数关系式;若有最大值,请求出的最大值,若没有,请说明理由;
(3)若是轴上一个动点,过作射线交抛物线于点,随着点的运动,在轴上是否存在这样的点,使以 、、、为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者,市委根据党中央的决定,对患者进行了免费治疗.图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图(不完整),图2是这三类患者的人均治疗费用统计图.请回答下列问题.
(1)轻症患者的人数是多少?
(2)该市为治疗危重症患者共花费多少万元?
(3)所有患者的平均治疗费用是多少万元?
(4)由于部分轻症患者康复出院,为减少病房拥挤,拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房,请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率.
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【题目】如图,直线上有点、、、、,且,,,,分别过点、、、、作直线的垂线,交轴于点、、、、,依次连接、、、、,得到,,,,,则的面积为_______.(用含有正整数的式子表示)
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【题目】定义:在平面直角坐标系中,O为坐标原点,设点P的坐标为(x,y),当x<0时,点P的变换点P′的坐标为(﹣x,y);当x≥0时,点P的变换点P′的坐标为(﹣y,x).
(1)若点A(2,1)的变换点A′在反比例函数y=的图象上,则k= ;
(2)若点B(2,4)和它的变换点B'在直线y=ax+b上,则这条直线对应的函数关系式为 ,∠BOB′的大小是 度.
(3)点P在抛物线y=x2﹣2x﹣3的图象上,以线段PP′为对角线作正方形PMP'N,设点P的横坐标为m,当正方形PMP′N的对角线垂直于x轴时,求m的取值范围.
(4)抛物线y=(x﹣2)2+n与x轴交于点C,D(点C在点D的左侧),顶点为E,点P在该抛物线上.若点P的变换点P′在抛物线的对称轴上,且四边形ECP′D是菱形,求n的值.
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