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【题目】如图,在菱形中,交于点 延长线上的一点,且,连接分别交于点 ,连接,则下列结论中一定成立的是__________

;②与全等的三角形共有5个;③;④由点构成的四边形是菱形

【答案】①④

【解析】

AAS证明△ABG≌△DEG,得出AG=DG,证出OG是△ACD的中位线,得出OG=CD=AB,①正确;

先证明四边形ABDE是平行四边形,证出△ABD、△BCD是等边三角形,得出AB=BD=AD,因此OD=AG,得出四边形ABDE是菱形,④正确;

由菱形的性质得得出△ABG≌△BDG≌△DEG,由SAS证明△ABG≌△DCO,得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG,得出②不正确;

证出OG是△ABD的中位线,得出OGABOG=AB,得出△GOD∽△ABD,△ABF∽△OGF,由相似三角形的性质和面积关系得出S四边形ODGF=SABF;③不正确;即可得出结果.

∵四边形ABCD是菱形,

AB=BC=CD=DAABCDOA=OCOB=ODACBD

∴∠BAG=EDG,△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD

CD=DE

AB=DE

在△ABG和△DEG中,

∴△ABG≌△DEGAAS),

AG=DG

OG是△ACD的中位线,

OG=CD=AB,①正确;

ABCEAB=DE

∴四边形ABDE是平行四边形,

∵∠BCD=BAD=60°,

∴△ABD、△BCD是等边三角形,

AB=BD=AD,∠ODC=60°,

OD=AG,四边形ABDE是菱形,④正确;

ADBE

由菱形的性质得:△ABG≌△BDG≌△DEG

在△ABG和△DCO中,

∴△ABG≌△DCOSAS),

∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG,②不正确;

OB=ODAG=DG

OG是△ABD的中位线,

OGABOG=AB

∴△GOD∽△ABD,△ABF∽△OGF

∴△GOD的面积=ABD的面积,△ABF的面积=OGF的面积的4倍,AFOF=21

∴△AFG的面积=OGF的面积的2倍,

又∵△GOD的面积=AOG的面积=BOG的面积,

S四边形ODGF=SABF;③不正确;

正确的是①④.

故答案为:①④.

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