【题目】如图,抛物线的与轴交于点,与轴交于点,
(1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标;
(2)若是线段上一动点,过作轴的平行线交抛物线于点,交于点,设时,的面积为.求关于的函数关系式;若有最大值,请求出的最大值,若没有,请说明理由;
(3)若是轴上一个动点,过作射线交抛物线于点,随着点的运动,在轴上是否存在这样的点,使以 、、、为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),;(2),当时,有最大值,最大值是;(3)存在,点为,,
【解析】
(1)根据待定系数法即可求出抛物线的解析式,把一般式转化为顶点式即得顶点坐标;
(2)如图1,先求出点B坐标,然后利用待定系数法求出直线BC的解析式,由,则点H、N的横坐标都可以用含t的代数式表示,由即可得到S与t的函数关系式,进一步即可根据二次函数的性质求出S的最大值;
(3)设,分两种情况:①如图2,当在轴下方时,作轴于,由平行四边形的性质可证得,从而可得,由此可得关于x的方程,解方程即可求x的值,进而可得点P坐标;②如图3,当在轴上方时,作轴于,同①的方法解答即可.
解(1)将,代入,
得,解得:,
∴抛物线的表达式为:;
∴抛物线的顶点坐标为;
(2)由,得x=3或x=﹣1,则点,
如图1,连接、、,设直线解析式为,代入,,得:
,解得:,
∴直线的解析式为;
∵,∴,,
∴,
则当时,有最大值,最大值是;
(3)存在,P点坐标为,,;
理由如下:设,
①如图2,当在轴下方时,作轴于,
∵
∴当时,四边形为平行四边形,
∴,
∴,
∴,
解得:或(与点重合,舍去),
∴;
②如图3,当在轴上方时,作轴于,
∵
∴当时,四边形为平行四边形,
∴,
∴,
∴,
解得:或,
∴,;
综上所述,点为,,.
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【题目】甲、乙两种水稻实验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:吨/公顷):
品种 | 2015年 | 2016年 | 2017年 | 2018年 | 2019年 |
甲 | 10 | ||||
乙 |
(1)乙种水稻5年的平均单位面积产量的平均数为______吨/公顷;
(2)“扇形统计图”和“折线统计图”中,更能直观地反映甲种水稻5年的平均单位面积产量变化过程和趋势的统计图是______;
(3)王老汉家有100公顷田要种植水稻,你建议他种什么品种的水稻,并说明理由.
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【题目】一个不透明的口袋中有个大小、质地完全相同的乒乓球,球面上分别标有数-1,2,-3,4.
(1)摇匀后任意摸出个球,则摸出的乒乓球球面上的数是正数的概率为 _;
(2)掘匀后先从中任意摸出个球(不放回),记下数字作为平面直角坐标系内点的横坐标:再从余下的个球中任意摸出个球,记下数字作为点的纵坐标,用列表或画树状图的方法求:两次摸球后得到的点恰好在函数图像上的概率.
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【题目】港珠澳大桥(英文名称:Hong Kong-Zhuhai-Macao Bridge)是中国境内一座连接香港、广东珠海和澳门的桥隧工程,位于中国广东省珠江口伶洋海域内,为珠江三角洲地区环线高速公路南环段.港珠澳大桥于年月日动工建设;于年月日实现主体工程全线贯通;于年月日完成主体工程验收;同年月日上午时开通运营.广东某校数学“综合与实践”小组的同学把“测量港珠澳大桥某一段斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间完成该桥斜拉索实地测量,测量结果如下表
项目 | 内容 | ||
课题 | 测量港珠澳大桥某一段斜拉索顶端到桥面的距离 | ||
测量示意图 | 说明:两侧斜拉索,相交于点,分别与桥面交于,两点,且点,,在同一竖直平面内 | ||
测量数据 | 的度数 | 的度数 | 的长度 |
米 | |||
(1)请帮助该小组根据上表中的测量数据,求斜拉索顶端点到的距离(参考数据:,,,,,);
(2)该小组要写出一份完整的课题活动报告,除上表的项目外,你认为还需要补充哪些项目(写出一个即可)?
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【题目】如图,在菱形中,,与交于点 ,为延长线上的一点,且,连接分别交,于点 ,,连接,则下列结论中一定成立的是__________.
①;②与全等的三角形共有5个;③;④由点、、、构成的四边形是菱形
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【题目】已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(3,18)和B(﹣2,8)两点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象只有一个交点,求交点坐标.
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【题目】在中,.
(1)如图.分别过、两点作经过点的直线的垂线,垂足分别为、,求证:.
(2)如图,是边上一点,,,求的值.
(3)如图,是边延长线上一点,,,,,直接写出的值.
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【题目】某校为了解本校九年级学生物理实验操作技能考查的备考情况,随机抽取该年级部分学生进行了一次测试,并根据中考标准按测试成绩分成A、B、C、D四个等级,绘制出以下两幅不完整的统计图,请根据图中信息解答下列问题:
(1)本次抽取参加测试的学生为_____人,扇形统计图中A等级所对的圆心角是____度;
(2)请补全条形统计图和扇形统计图;
(3)若该校九年级男生有300人,请估计该校九年级学生物理实验操作成绩为C等级的有____人.
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