Question

【题目】在中，．

（1）如图．分别过、两点作经过点的直线的垂线，垂足分别为、，求证：．

（2）如图，是边上一点，，，求的值．

（3）如图，是边延长线上一点，，，，，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2） （3）

【解析】

（1）由题意，只要证明△AMB∽△BNC，即可得到结论成立；

（2）过点作交于点，过作于点，先证明，得到，再证明，即可得到结论成立；

（3）作AG⊥BE于G，作CH⊥BE于点H，先判断出，再同（2）的方法，即可得出结论．

证明：（1）：，

，

又，

∴∠M=∠N=90°，∠1+∠3=90°，

∴∠1=∠2．

，

；

（2）过点作交于点，过作img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/07/22/04/8078862f/SYS202007220422182855736715_DA/SYS202007220422182855736715_DA.007.png" width="72" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />于点，

，，

，

，

，

，

设，，则，，

又，

，

，

又，，

；

，

解得：，

；

（3）如图，作AG⊥BE于G，作CH⊥BE于点H，

在Rt△ABC中，，

∵∠DEB=90°，

∴CH∥AG∥DE，

∴，
同（1）的方法得，△ABG∽△BCH
∴，
设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，
∵AB=AE，AG⊥BE，
∴EG=BG=4m，
∴GH=BG+BH=4m+3n，
∴，
∴n=2m，
∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，
在Rt△CEH中，tan∠BEC=．

∴．