Question

1．如图，已知一正方形ABCD及一等腰直角三角尺．将三角尺的锐角顶点与D重合，腰与边DC重叠，并将三角尺绕点D顺时旋转，使它的斜边与AB所在直线交于点E，一条直角边与BC交于点F（点E、F不与点A、C重合），直线DE、DF分别与直线AC交于P、Q两点．
（1）三角尺旋转到如图1位置时，求证：△ADP∽△BDF，且相似比为1：$\sqrt{2}$；
（2）请再在图1中（不再添线和加注字母）直接写了两对相似比为1：$\sqrt{2}$的非直角三角形的相似三角形△CDQ与△BDE，△DPQ与△DFE．
（3）如图2，AB的垂直平分线RH交DC于点R，当M点旋转到RH上时，点N、P重合．
①（1）中的结论依然成立，请问（2）中的结论仍然成立吗？如果成立，选其中一个结论加以证明；如果不成立，请说明理由；
②在图2中，如果ON=6，求RM的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据四边形ABCD是正方形，△DMN是等腰直角三角形，推得∠DAP=∠DBF，∠ADP=∠BDF，即可判断出△ADP∽△BDF；然后根据四边形ABCD是正方形，可得AD：BD=1：$\sqrt{2}$，据此判断出△ADP和△BDF相似比为1：$\sqrt{2}$即可．
（2）根据相似三角形的判定方法，即可推得两对相似比为1：$\sqrt{2}$的非直角三角形的相似三角形．
（3）①（2）中的结论仍然成立．根据相似三角形的判定方法，判断出∠DCQ=∠DBE，∠CDQ=∠BDE，即可判断出△CDQ∽△BDE；然后根据CD：BD=1：$\sqrt{2}$，即可推得△CDQ和△BDE的相似比为1：$\sqrt{2}$．
②首先作NG⊥RH于点G，根据全等三角形判定的方法，判断出△MGN≌△DRM，即可推得NG=MR，MG=DR，再根据DR=RO，推得MG=RO；然后根据MG+OM=RO+OM，推得RM=OG，在△ONG中，根据勾股定理，求出RM的长是多少即可．

解答 （1）证明：如图1，
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAP=∠DBF=∠ADO=45°，
∴∠ADP+∠ODP=45°，
又∵△DMN是等腰直角三角形，
∴∠MDN=45°，
∴∠BDF+∠ODP=45°，
∴∠ADP=∠BDF，
在△ADP和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAP=∠DBF}\\{∠ADP=∠BDF}\end{array}\right.$
∴△ADP∽△BDF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD：BD=1：$\sqrt{2}$，
∴△ADP和△BDF的相似比为1：$\sqrt{2}$．

（2）解：两对相似比为1：$\sqrt{2}$的非直角三角形的相似三角形△CDQ与△BDE，△DPQ与△DFE．
①如图2，
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCQ=∠DBE=∠CDO=45°，
∴∠CDQ+∠ODQ=45°，
又∵△DMN是等腰直角三角形，
∴∠MDN=45°，
∴∠BDE+∠ODQ=45°，
∴∠CDQ=∠BDE，
在△CDQ和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCQ=∠DBE}\\{∠CDQ=∠BDE}\end{array}\right.$
∴△CDQ∽△BDE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD：BD=1：$\sqrt{2}$，
∴△CDQ和△BDE的相似比为1：$\sqrt{2}$．

②如图3，
，
∵△ADP∽△BDF，且相似比为1：$\sqrt{2}$，
∴DP：DF=1：$\sqrt{2}$，
∵△CDQ∽△BDE，且相似比为1：$\sqrt{2}$，
∴DQ：DE=1：$\sqrt{2}$，
∴DP：DF=DQ：DE，
又∵∠PDQ=∠FDE，
∴△DPQ∽△DFE，且相似比为1：$\sqrt{2}$．

（3）①解：（2）中的结论仍然成立．
如图4，
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCQ=∠DBE=∠CDO=45°，
又∵△DMN是等腰直角三角形，
∴∠MDN=45°，
∴∠CDO+∠ODQ=∠MDE+∠BDM，
即∠CDQ=∠BDE，
在△CDQ和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCQ=∠DBE}\\{∠CDQ=∠BDE}\end{array}\right.$
∴△CDQ∽△BDE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD：BD=1：$\sqrt{2}$，
∴△CDQ和△BDE的相似比为1：$\sqrt{2}$．

②解：如图5，作NG⊥RH于点G，
，
∴∠MGN=90°，
∴∠GNM+∠NMG=90°，
∵∠DMN=90°，
∴∠RMD+∠NMG=90°，
∴∠GNM=∠RMD，
∵RH是AB的中垂线，
∴∠DRM=90°，
∴∠MGN=∠DRM，
∵△DMN是等腰直角三角形，
∴MN=DM，
在△MGN和△DRM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GNM=∠RMD}\\{∠MGN=∠DRM}\\{MN=DM}\end{array}\right.$，∴△MGN≌△DRM，
∴NG=MR，MG=DR，
∵DR=RO，
∴MG=RO，
∴MG+OM=RO+OM，
∴RM=OG，
∵ON=6，∠NOG=45°，
∴RM=OG=6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3$\sqrt{2}$．
故答案为：△CDQ、△BDE、△DPQ、△DFE．

点评 （1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（3）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．