Question

6．如图，点E、F分别是等边△ABC中AC、AB边上的中点，以AE为边向外作等边△ADE．
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）连接DC，若BC=10，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出AF=EF=AE=DE=AD，由四边相等的四边形是菱形，即可得出结论；
（2）作AM⊥BC于M，由等边三角形的性质和三角函数求出AM，在求出AD的长，证出四边形ABCD是梯形，由梯形的面积公式即可得出结果．

解答 （1）证明：∵△ABC、△ADE是等边三角形，
∴AF=EF=AE=DE=AD，∠ACB=∠DAE=60°，
∴四边形AFED是菱形；
（2）解：作AM⊥BC于M，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=10，∠B=60°，
∴AM=AB•sin60°=10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$，
∵E是AC的中点，
∴AE=AD=$\frac{1}{2}$AC=5，
∵∠ACB=∠DAE=60°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是梯形，
∴四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$（AD+BC）×AM=$\frac{1}{2}$（5+10）×5$\sqrt{3}$=$\frac{75\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了菱形的判定、等边三角形的性质、平行线的判定、梯形的判定、三角函数等知识；熟练掌握菱形的判定方法，证明四边形ABCD是梯形是解决问题（2）的关键．