Question

【题目】已知抛物线，通过画图发现，无论b取何值，抛物线总会经过两个定点；

（1）直接写出这两个定点的坐标________ ，_________；

（2）若将此抛物线向右平移单位，再向上平移(b>0）个单位，平移后的抛物线顶点都在某个函数的图象上，求这个新函数的解析式（不必写自变量取值范围）；

（3）若抛物线与直线y=x–3有两个交点A与B，且，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（0，-3），（-1，0）；（2）；（3）或

【解析】

（1）y＝bx2＋（b3）x3＝b（x2＋x）3x3，函数过定点，则x2＋x＝0，即可求解；

（2）原抛物线顶点坐标为（，），平移后为（，），即可求解；

（3）根据题意分b＞0和b＜0，根据AB的长分别求出B点坐标，代入求出相应b的取值即可求解．

解：（1）y＝bx2＋（b3）x3＝b（x2＋x）3x3，

函数过定点，则x2＋x＝0，

解得x＝0或x=1，

∴抛物线总会经过两个定点（0，3）、（1，0），

故答案为（0，3）、（1，0）；

（2）原抛物线顶点横坐标为：，

纵坐标为：，

即（，），

平移后新抛物线顶点横坐标为：，纵坐标为：，即（，）

∴

∴

即为平移后的抛物线顶点所在的函数解析式为：；

（3）由与直线y=x–3交于点A（0，-3）

当b>0时，如图当AB=时，

过点A作AM∥x轴，BM∥y轴交于点M

∵AM⊥BM，∠BAM=45°，AB=

∴MA=MB=ABsin45°=1，

∴B(1，-2)

把B(1，-2)代入y=bx2+(b–3)x–3

得b=2．

AB=时，作BM⊥x轴交于点M

同理得AM=BM=4

∴B（4，1）

把B(4，1)代入y=bx2+(b–3)x–3 得b=，

．

当时，，同理可得，

代入，x无解；

当，同理可得B（-4，-7）

代入解得

∴，

综上，b的取值为或．