Question

11．对方程a²b²+a²+b²=2004，求出至少一组整数解．

Answer 1

分析 由原方程得到：（a²+1）（b²+1）=5×401，由于a、b都是整数，所以由该等式得到方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+1=5}\\{{b}^{2}+1=401}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+1=401}\\{{b}^{2}+1=5}\end{array}\right.$，从而求出a、b的值．

解答 解：由a²b²+a²+b²=2004，得
a²+b²+a²b²+1=2004+1，
∴a²（b²+1）+（b²+1）=2005，
∴（b²+1）（a²+1）=5×401
∵a，b都是整数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+1=5}\\{{b}^{2}+1=401}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+1=401}\\{{b}^{2}+1=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=±2}\\{b=±20}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=±20}\\{b=±2}\end{array}\right.$．
综上所述，a的值为±2，b的值为±20；或a的值为±20，b的值为±2．

点评 本题考查了非一次不定方程（组），因式分解的应用．此题的难点是把已知等式转化为形式：（b²+1）（a²+1）=5×401．