Question

【题目】如图，边长为的正方形中，点是上一点，点是上一点．点关于直线的对称点恰好在延长线上，交于点．点为的中点，若，则=_____．

Answer 1

【答案】5

【解析】

连接DF，DG，过H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，由点F，点G关于直线DE的对称，得到DF=DG，根据正方形的性质得到AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，推出Rt△AFD≌Rt△CDG，证得△FDG是等腰直角三角形，推出四边形APHQ是矩形，证得△HPF≌△DHQ，根据全等三角形的性质得到HP=HQ，证得APHQ为正方形，利用正方形性质联系题中所给数据计算出正方形边长，然后再利用△FPH∽△EHG求得EG长．

解：连接DF，DG，过H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，

∵点F，点G关于直线DE的对称，
∴DF=DG，
正方形ABCD中，

∵AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，
∴∠GCD=90°，又在Rt△AFD与Rt△CDG中，

∴Rt△AFD≌Rt△CDG，
∴∠ADF=∠CDG，
∴∠FDG=∠ADC=90°，
∴△FDG是等腰直角三角形，
∵DH⊥CF，

∵HP⊥AB，HQ⊥AD，∠A=90°，
∴四边形APHQ是矩形，
∴∠PHQ=90°，
∵∠DHF=90°，
∴∠PHF=∠DHQ，

又在△PFF与△DQH中有:

∴△HPF≌△DHQ，
∴HP=HQ，所以矩形APHQ是正方形；
设正方形APHQ边长为a，则在Rt△MQH中，有（a-3）2+a2=17，解得a=4；
∴FP=QD=AD-AQ=6-4=2，
又易证△FPH∽△EHG，

则有，即,

又FH2=22+42=20，PH=4，
∴EG=5
故答案为：5．