Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF=BE，连接DF．

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）若AC=4，∠ABC=60°，求矩形AEFD的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）根据已知条件推知四边形AEFD是平行四边形，AE⊥BC，则平行四边形AEFD是矩形；

（2）先证明△ABE≌△DCF，得出△ABC是等边三角形，在利用面积公式列式计算即可得解．

（1）证明： ∵ 菱形ABCD

∴AD∥BC ， AD=BC

∵CF=BE

∴BC=EF

∴AD∥EF，AD=EF

∴四边形AEFD是平行四边形

∵AE⊥BC

∴∠AEF=90°

∴平行四边形AEFD是矩形

（2）根据题意可知∠ABE=∠DCF,AB=CD,CF=BE

∴△ABE≌△DCF (SAS)

∴矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积

∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形

AC=4，AO=2，AB=4，由菱形的对角线互相垂直可得BO=

矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积=