Question

如图，点A、B在圆O上，△OAB是等边三角形，延长OA到C，使得AC=OA，连接BC．在圆O上是否存在一点D，使得BD=BC？

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：存在型

分析：根据等边三角形的性质得∠OBA=∠OAB=60°，AB=OA，易得AB=AC，则∠C=∠ABC=30°，所以∠OBC=90°，根据含30度的直角三角形三边的关系得BC=

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OB；过B点作直径BE，在⊙O上取点D，使∠DBE=30°，如图，根据圆周角定理得∠D=90°，则DE=

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2

BE=OB，BD=

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DE=

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OB，所以BD=BC；点D关于BE的对称点E′也满足BD′=BC．

解答：解：存在．
∵△OAB是等边三角形，
∴∠OBA=∠OAB=60°，AB=OA，
而AC=OA，
∴AB=AC，
∴∠C=∠ABC=30°，
∴∠OBC=90°，
∴BC=

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OB，
过B点作直径BE，在⊙O上取点D，使∠DBE=30°，如图，
∵BE为直径，
∴∠BDE=90°，
∴DE=

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BE=OB，
∴BD=

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DE=

3

OB，
∴BD=BC，
点D关于BE的对称点E′也满足BD′=BC．

点评：本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了等边三角形的性质和圆周角定理．