Question

9．（1）填空：
（a-b）（a+b）=a²-b²；
（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；
（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴．
（2）猜想：
（a-b）（a^n-1+a^n-2b+…+ab^n-2+b^n-1）=aⁿ-bⁿ（其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：2^9₊2⁸+2^7₊…+2³+2²+2．
（4）进一步思考并计算：2⁹-2⁸+2⁷-…+2³-2²+2．

Answer 1

分析 （1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；
（2）根据（1）的规律可得结果；
（3）利用（2）得出的规律猜想；
（4）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．

解答 解：（1）（a-b）（a+b）=a²-b²；
（a-b）（a²+ab+b²）=a³+a²b+ab²-a²b-ab²-b³=a³-b³；
（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴+a³b+a²b²+ab³-a³b-a²b²-ab³-b⁴=a⁴-b⁴；
故答案为：a²-b²，a³-b³，a⁴-b⁴；
（2）由（1）的规律可得：
原式=aⁿ-bⁿ，
故答案为：aⁿ-bⁿ；
（3）由（1）的规律可得：
2^9₊2⁸+2^7₊…+2³+2²+2=（2-1）•（2^9₊2⁸•1+2⁷•1^2₊…+2³•1⁶+2²•1⁷+2•1⁸）
=2¹⁰-1¹⁰
=2¹⁰-1
=1023；
（4）2⁹-2⁸+2⁷-…+2³-2²+2=（2-1）（2⁸+2⁶+2⁴+2²+2）=342．
法二：2⁹-2⁸+2⁷-…+2³-2²+2
=2⁹-2⁸+2⁷-…+2³-2²+2-1+1
=$\frac{{2}^{10}-（-1）^{10}}{2-（-1）}$+1
=342．

点评 此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．