Question

14．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：
如果y′=$\left\{\begin{array}{l}{y（x≥0）}\\{-y（x＜0）}\end{array}\right.$，那么称点Q为点P的“关联点”．
例如：点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（-5，6）的“关联点”
为点（-5，-6）．
（1）①点（2，1）的“关联点”为（2，1）；②如果点A（3，-1），B（-1，3）的“关联点”中有一个在函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，那么这个点是B（填“点A”或“点B”）．
（2）①如果点M^*（-1，-2）是一次函数y=x+3图象上点M的“关联点”，
那么点M的坐标为（-1，2）；②如果点N^*（m+1，2）是一次函数y=x+3图象上点N的“关联点”，求点N的坐标．
（3）如果点P在函数y=-x²+4（-2＜x≤a）的图象上，其“关联点”Q的纵坐标
y′的取值范围是-4＜y′≤4，那么实数a的取值范围是-2＜a＜2．

Answer 1

分析 （1）根据在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′=$\left\{\begin{array}{l}{y（x≥0）}\\{-y（x＜0）}\end{array}\right.$，那么称点Q为点P的“关联点”，可得答案；
（2）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′=$\left\{\begin{array}{l}{y（x≥0）}\\{-y（x＜0）}\end{array}\right.$，那么称点Q为点P的“关联点”，可得答案；
（3）根据在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′=$\left\{\begin{array}{l}{y（x≥0）}\\{-y（x＜0）}\end{array}\right.$，那么称点Q为点P的“关联点”，可得P点自变量的取值范围，可得答案．

解答 解：（1）①点（2，1）的“关联点”为（2，1）；
②如果点A（3，-1）的关联点为（3，-1）；
B（-1，3）的“关联点”为（-1，-3），
一个在函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，那么这个点是 B；
故答案为：（2，1），B；
（2）①如果点M^*（-1，-2）是一次函数y=x+3图象上点M的“关联点”是（-1，2），
那么点M的坐标为（-1，2）；
②如果点N^*（m+1，2）是一次函数y=x+3图象上，
点N^*（-1，2）的“关联点”（-1，-2），
点N的坐标是（-1，-2），
故答案为：（-1，2），（-1，-2）；
（3）如果点P在函数y=-x²+4（-2＜x≤a）的图象上，
当-2＜x≤0时，0＜y≤4，即-2＜a≤0；
当x＞0时，y=y′，即-4＜y≤4，
-x²+4＞-4，解得x＜2$\sqrt{2}$，
即0＜x＜2$\sqrt{2}$，
综上所述：-2＜x＜2$\sqrt{2}$，
-2＜a＜2$\sqrt{2}$．
“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是-4＜y′≤4，那么实数a的取值范围是-2＜a＜2$\sqrt{2}$，
故答案为：-2＜a＜2．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用关联点的定义是解题关键，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′=$\left\{\begin{array}{l}{y（x≥0）}\\{-y（x＜0）}\end{array}\right.$，那么称点Q为点P的“关联点”．