Question

9．如图，两个大小不同的等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE．连结DC、BE交于F点．

（1）求证：△ACD≌△AEB；
（2）将图1中的△ACE绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜90°），DC与BE相交于点F．
①在旋转过程中，直线DC、BE是否互相垂直，请说明理由；
②连结AF，在旋转的过程中，∠DFA的角度是否会变化，若会变化请说明理由；不会变化请求出相应的角度．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）解①如图，根据全等三角形的性质得到∠ACD=∠AEB，由于∠AEB+∠FEC+∠ACE=90°，于是得到∠ACD+∠FEC+∠ACE=90°，求得∠EFC=90°，即可得到结论；②作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，根据全等三角形的性质得到S_△DAC=S_△BAE，DC=BE，于是得到$\frac{1}{2}$DC•AM=$\frac{1}{2}$BE•AN，推出AM=AN，得到FA是∠DFE的平分线，即可得到结论．

解答 （1）证明：在△ACD与△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAB=∠CAE=90°}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AEB；

（2）解：①如图，DC⊥BE，
理由：∵△ACD≌△AEB，
∴∠ACD=∠AEB，
∵∠AEB+∠FEC+∠ACE=90°，
∴∠ACD+∠FEC+∠ACE=90°，
∴∠EFC=90°，
∴DC⊥BE；
②作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，
∵△DAC≌△BAE，
∴S_△DAC=S_△BAE，DC=BE，
∴$\frac{1}{2}$DC•AM=$\frac{1}{2}$BE•AN，
∴AM=AN，
∴FA是∠DFE的平分线，
即∠DFA=∠EFA=$\frac{1}{2}∠$DFE=45°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．