Question

【题目】如图，在直角坐标系中，已知点A(－8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上。

（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径等于4，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，⊙M与x轴，y轴都相切，切点分别为E，F，试求出点M的坐标；

（3）如图3，⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为E，F，G，试求出点M的坐标（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）OB与⊙M相切；（2）M（－，）；（3）M（－2，2）

【解析】（1）设线段OB的中点为D，连结MD，根据三角形的中位线求出MD，根据直线和圆的位置关系得出即可；

（2）求出过点A、B的一次函数关系式是y=x+6，设M（a，﹣a），把x=a，y=﹣a代入y=x+6得出关于a的方程，求出即可．

（3）连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，设ME=MF=MG=r，根据S△ABC=AOME+BOMF+ABMG=AOBO求得r=2，据此可得答案．

（1）直线OB与⊙M相切．理由如下：

设线段OB的中点为D，如图1，连结MD，

∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4，

∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上．

又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；

（2）如图2，连接ME，MF，

∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴，解得：k=，b=6，即直线AB的函数关系式是y=x+6．

∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=x+6，得：﹣a=a+6，得：a=﹣，∴点M的坐标为（﹣）．

（3）如图3，连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，

∵⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，∴ME⊥AO、MF⊥BO、MG⊥AB，设ME=MF=MG=r，则S△ABC=AOME+BOMF+ABMG=AOBO．

∵A（﹣8，0），B（0，6），∴AO=8、BO=6，AB==10，∴r8+r6+r10=×6×8，解得：r=2，即ME=MF=2，∴点M的坐标为（﹣2，2）．