Question

如图，在直角坐标系中，一次函数y=x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（2，0），连接BC．
（1）判断△ABC是不是等腰直角三角形，并说明理由；
（2）若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），连结AP，作AP的垂直平分线交y轴于点E，垂足为D，分别连结EA，EP；
  ①当点P在运动时，∠AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠AEP的度数；
  ②若点P从点C出发，运动速度为每秒1个单位长度，设△AOE的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由一次函数y=x+2求出A、B两点，再根据A、B、C的坐标求得OA=OB=OC=2，AC=4，进而求得∠ABO=∠BAO=∠CBO=∠BCO=45°，AB=BC=2

2

，∠ABC=90°，则可证△ABC为等腰直角三角形．
（2）连接EC，由于E在y轴上，即E在AC的垂直平分线上，所以EA=EC，故∠ECA=∠EAC，而E在AP的垂直平分线上，同理可求得EA=EP，即EC=EP=EA，那么∠ECP=∠EPC；由三角形的外角的性质可知∠ACP=∠ECA+∠ECP=135°，那么∠EAC、∠EPC的度数和也是135°，由此可求得∠AEP=360°-270°=90°，即∠AEP的度数不变．
（3）过E作EM⊥PC于M，由（2）知△ECP是等腰三角形，则CM=PM=

t

2

，在Rt△BEM中，∠EBM=45°，BM=2

2

+

t

2

，通过解直角三角形即可求得BE的长，从而可得到OE的长，到此，可根据三角形的面积公式表示出△ACE的面积，从而求得S的表达式，由此得解．

解答：解：（1）如图1，由一次函数y=x+2，则A（-2，0），B（0，2），C（2，0）．
∴OA=OB=OC=2，AC=4，
∴△AOB和△COB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠BAO=∠CBO=∠BCO=45°，
∴AB=BC=2

2

，∠ABC=90°
∴△ABC为等腰直角三角形．

（2）∠AEP的度数不变化；
如图2，连接EC，
∵E点在y轴上，且A、C关于y轴对称，
∴E点在线段AC的垂直平分线上，
即EA=EC；
∵E点在线段AP的垂直平分线上，则EA=EP，
∴EA=EP=EC，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECP=∠EPC；
∵∠BCA=45°，即∠ACP=∠ECA+∠ECP=∠BAC+∠ABC=135°，
∴∠EAC+∠EPC=135°，即∠EAC+∠EPC+∠ACP=270°，
故∠AEP=360°-270°=90°，
∴∠AEP的度数不会发生变化，为定值90°．

（3）如图3，过E作EM⊥BP于M、过A作AN⊥BP于N；
由（2）知：△CEP是等腰三角形，则有：
CM=MP=

1

2

CP=

t

2

；
∴BM=BC+CM=2

2

+

t

2

；
在Rt△BEM中，∠MBE=45°，则有：BE=

2

BM=

2

（2

2

+

t

2

）；
∴OE=BE-OB=

2

（2

2

+

t

2

）-2=2+

2

2

t；
∴S_△AEC=

1

2

AC•OE=

1

2

×4×（2+

2

2

t）=4+

2

t，
∴S=

1

2

S_△AEC=2+

2

2

t．
故S=

2

2

t+2．

点评：此题主要考查了一次函数与三角形的相关知识，涉及到：等腰直角三角形、等腰三角形的判定和性质，三角形面积的求法，解直角三角形等重要知识点．