Question

【题目】已知抛物线y＝ax2+bx﹣a+b（a，b为常数，且α≠0）．

（1）当a＝﹣1，b＝1时，求顶点坐标；

（2）求证：无论a，b取任意实数，此抛物线必经过一个定点，并求出此定点；

（3）若a＜0，当抛物线的顶点在最低位置时：

①求a与b满足的关系式；

②抛物线上有两点（2，s），（m，t），当s＜t时，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）顶点坐标是（，）；（2）证明见解析，（﹣1，0）；（3）①b＝2a；②﹣4＜m＜2

【解析】

（1）代入a与b的值，确定函数解析式即可求顶点坐标；

（2）将表达式因式分解，可得到当x=-1时，y=0时是函数过的顶点；

（3）由抛物线开口向下，当抛物线的顶点在最低位置时即是顶点是（-1，0）时，可求a、b关系；结合函数图象即可求m的范围．

（1）当a＝﹣1，b＝1时，

∴y＝﹣x2+x+2=，

∴顶点坐标是（，）；

（2）y＝ax2+bx﹣a+b＝（ax2﹣a）+（bx+b）＝a（x+1）（x﹣1）+b（x+1）＝（x+1）（ax﹣a+b），

当x＝﹣1时，y＝0，

所以抛物线必经过定点（﹣1，0）；

（3）①∵抛物线必经过定点（﹣1，0），

∴当a＜0，抛物线的顶点在最低位置时，即（﹣1，0）是抛物线的顶点，

此时﹣＝﹣1，

∴b＝2a；

②当两点（2，s），（m，t），在x＝﹣1右侧时：

∵s＜t，

∴﹣1＜m＜2，

当（m，t），在x＝﹣1左侧时：

∵s＜t，

∴﹣4＜m＜﹣1，

综上所述，﹣4＜m＜2时，s＜t．