【题目】在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点P在线段BC上(不含点B),∠BPE=∠ACB,PE交BO于点E,过点B作BF⊥PE,垂足为F,交AC于点G.
(1)当点P与点C重合时(如图①):
①求证:△BOG≌△POE;②猜想:= ;
(2)当点P与点C不重合时,如图②,的值会改变吗?试说明理由.
【答案】(1)①证明见解析;②;(2),不会改变,理由见解析.
【解析】
(1)①由四边形ABCD是正方形,P与C重合,易证得OB=OP,∠BOC=∠BOG=90°,由同角的余角相等,证得∠GBO=∠EPO,则可利用ASA证得:△BOG≌△POE;
②先判断出∠BPF=∠GPF,进而得出BF=BG,由①得△BOG≌△POE,得出BG=PE,即可得出结论;
(2)首先过P作PM∥AC交BG于M,交BO于N,易证得△BMN≌△PEN(ASA),△BPF≌△MPF(ASA),即可得BM=PE,BF=BM.则可求得
的值;
(1)①证明:∵四边形ABCD是正方形,P与C重合,
∴OB=OP,∠BOC=∠BOG=90°,
∵PF⊥BG,∠PFB=90°,
∴∠GBO=90°﹣∠BGO,∠EPO=90°﹣∠BGO,
∴∠GBO=∠EPO,
在△BOG和△POE中,
∵,
∴△BOG≌△POE(ASA);
②由①知,△BOG≌△POE,
∴BG=PE,
∵∠BPE=∠ACB,∠BPF+∠GPF=∠ACB,
∴∠BPF=∠GPF,
∵BF⊥PE,
∴BF=BG,
∴,
故答案为;
(2)解:猜想.
证明:如图2,过P作PM∥AC交BG于M,交BO于N,
∴∠PNE=∠BOC=90°,∠BPN=∠OCB.
∵∠OBC=∠OCB=45°,
∴∠NBP=∠NPB.
∴NB=NP.
∵∠MBN=90°﹣∠BMN,∠NPE=90°﹣∠BMN,
∴∠MBN=∠NPE,
在△BMN和△PEN中,
,
∴△BMN≌△PEN(ASA),
∴BM=PE.
∵∠BPE=∠ACB,∠BPN=∠ACB,
∴∠BPF=∠MPF.
∵PF⊥BM,
∴∠BFP=∠MFP=90°.
在△BPF和△MPF中,
,
∴△BPF≌△MPF(ASA).
∴BF=MF.
即BF=BM.
∴BF=PE.
即=.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点E、F分别为AD、DC上的动点,∠EBF=60°,点E从点A向点D运动的过程中,AE+CF的长度( )
A. 逐渐增加 B. 逐渐减小
C. 保持不变且与EF的长度相等 D. 保持不变且与AB的长度相等
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【题目】小明在暑期社会实践活动中,以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场上去销售,在销售了40千克西瓜之后,余下的每千克降价0.4元,全部售完.销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图所示.请你根据图象提供的信息完成以下问题:
(1)求降价前销售金额y(元)与售出西瓜x(千克)之间的函数关系式.
(2)小明从批发市场共购进多少千克西瓜?
(3)小明这次卖瓜赚了多少钱?
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【题目】如图(1),抛物线W1:y=﹣x2+4x与x轴的正半轴交于点B,顶点为A,抛物线W2与W1关于x轴对称,顶点为D.
(1)求抛物线W2的解析式;
(2)将抛物线W2向右平移m个单位,点D的对应点为D′,点B的对应点为B′,则当m为何值时,四边形AOD′B′为矩形?请直接写出m的值.
(3)在(2)的条件下,将△AOD′沿x轴的正方向向右平移n个单位(0<n<5),得到△A′O′D′′,AD′分别与O′A′、O′D′′交于点M、点P,A′D′′分别与AB′、B′D′交于点N、点Q.
①求当n为何值时,四边形MNQP为菱形?
②若四边形MNQP的面积为S,求S关于n的函数关系式;并求当n为何值时,S的值最大?最大值为多少?
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【题目】如图,直线与轴,轴分别交于,两点,且经过点.
(1)求的值;
(2)若,
①求的值;
②点为轴上一动点,点为坐标平面内另一点,若以,,,为顶点的四边形是菱形,请直接写出所有符合条件的点的坐标.
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【题目】如图,ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC=12、BD=10、AB=m,那么m的取值范围是( )
A. 1<m<11 B. 2<m<22 C. 10<m<12 D. 5<m<6
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D,CE⊥AD,交AD的延长线于点E.
(1)求证:∠BDC=∠A;
(2)若CE=2,DE=1,求AD的长.
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【题目】随着“父亲节”的临近,某商场决定开展“感恩父爱,回馈顾客”的促销活动,对部分节日大礼包进行打折销售.其中款节日大礼包打折款节日大礼包打折.已知打折前,购买盒款节日大礼包和盒款节日大礼包需要元;打折后买盒款节日大礼包和盒款节日大礼包需要元.
求打折后两款节日大礼包每盒分别为多少元?
打折期间,某公司计划为员工采购盒节日大礼包,总费用不超过元,则最多可以购买款节日大礼包多少盒?
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