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【题目】在正方形ABCD中,对角线ACBD交于点O,点P在线段BC上(不含点B),∠BPEACBPEBO于点E,过点BBFPE,垂足为F,交AC于点G

1)当点P与点C重合时(如图):

求证:△BOG≌△POE猜想: 

2)当点P与点C不重合时,如图的值会改变吗?试说明理由.

【答案】1证明见解析;;(2,不会改变,理由见解析.

【解析】

1)①由四边形ABCD是正方形,PC重合,易证得OB=OP,∠BOC=BOG=90°,由同角的余角相等,证得∠GBO=EPO,则可利用ASA证得:BOG≌△POE
②先判断出∠BPF=GPF,进而得出BF=BG,由①得BOG≌△POE,得出BG=PE,即可得出结论;
2)首先过PPMACBGM,交BON,易证得BMN≌△PENASA),BPF≌△MPFASA),即可得BM=PEBF=BM.则可求得

的值;

1)①证明:∵四边形ABCD是正方形,PC重合,

OBOP,∠BOC=∠BOG90°

PFBG,∠PFB90°

∴∠GBO90°﹣∠BGO,∠EPO90°﹣∠BGO

∴∠GBO=∠EPO

BOGPOE中,

∴△BOG≌△POEASA);

②由①知,BOG≌△POE

BGPE

∵∠BPEACB,∠BPF+GPF=∠ACB

∴∠BPF=∠GPF

BFPE

BFBG

故答案为

2)解:猜想

证明:如图2,过PPMACBGM,交BON

∴∠PNE=∠BOC90°,∠BPN=∠OCB

∵∠OBC=∠OCB45°

∴∠NBP=∠NPB

NBNP

∵∠MBN90°﹣∠BMN,∠NPE90°﹣∠BMN

∴∠MBN=∠NPE

BMNPEN中,

∴△BMN≌△PENASA),

BMPE

∵∠BPEACB,∠BPN=∠ACB

∴∠BPF=∠MPF

PFBM

∴∠BFP=∠MFP90°

BPFMPF中,

∴△BPF≌△MPFASA).

BFMF

BFBM

BFPE

.

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;②;③

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(3)在(2)的条件下,将△AOD′沿x轴的正方向向右平移n个单位(0<n<5),得到△A′O′D′′,AD′分别与O′A′、O′D′′交于点M、点P,A′D′′分别与AB′、B′D′交于点N、点Q.
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