【题目】在探究平行线的判定——基本事实:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行时,老师布置了这样的任务:
请同学们分组在学案上(如图),用直尺和三角尺画出过点P与直线AB平行的直线PQ;并思考直尺和三角尺在画图过程中所起的作用.
小菲和小明所在的小组是这样做的:他们选取直尺和含有45°角的三角尺,用平移三角尺的画图方法画出AB的平行线PQ,并将实际画图过程抽象出平面几何图形(如图).
以下是小菲和小明所在小组关于直尺和三角尺作用的讨论:
①在画平行线的过程中,三角尺由初始位置靠着直尺平移到终止位置,实际上就是先画∠BMD=45°,再过点P画∠BMD=45°
②由初始位置的三角尺和终止位置的三角尺各边所在直线构成一个“三线八角图”,其中QP为截线
③初始位置的三角尺和终止位置的三角尺在“三线八角图”中构成一组同位角
④在画图过程中,直尺可以由直线CD代替
⑤在“三线八角图”中,因为AB和CD是截线,所以,可以下结论“两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行”
其中,正确的是( )
A.①②⑤B.①③④C.②④⑤D.③④⑤
【答案】B
【解析】
这种画法就是画同位角∠DMB和∠DEP相等,从而判断PQ∥AB,从而根据平行线的判定定理对各小题进行判断.
在画平行线的过程中,三角尺由初始位置靠着直尺平移到终止位置,实际上就是先画∠BMD=45°,再过点P画∠BMD=45°,所以①正确;
由初始位置的三角尺和终止位置的三角尺各边所在直线构成一个“三线八角图”,其中CD为截线,所以②错误;
初始位置的三角尺和终止位置的三角尺在“三线八角图”中构成一组同位角,所以③正确;
在画图过程中,直尺可以由直线CD代替,所以④正确;
⑤在“三线八角图”中,因为AB和PQ是一组平行线,CD为截线,所以,可以下结论“两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行”,所以⑤错误.
故选:B.
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【题目】平行线问题的探索:
(1)问题一:已知:如图,于点交于点,当时,求的度数
甲、乙.丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题,如图1:
甲同学辅助线的做法和分析思路如下:辅助线:过点作,分析思路:
a.欲求的度数,由图可知只需转化为求和的度数;
b.可知,又由已知的度数可得的度数;
c.由推出由此可推出;
d.由已知可得所以可得的度数;
f.从而可求的度数
①请你根据乙同学所画的图形,描述乙同学辅助线的做法.辅助线: _;
②请你根据丙同学所画的图形,且不再添加其他辅助线,求的度数.
(2)问题二: 如图2,在平面直角坐标系中,点为轴负半轴上一点,点为轴正半轴上一点,其中满足关系式:.
① , ;
②根据已知点的坐标判断与的位置关系是
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【题目】如图,直线l1过点A(0,4),点D(4,0),直线l2:与x轴交于点C,两直线,相交于点B.
(1)求直线的解析式和点B的坐标;
(2)求△ABC的面积.
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【题目】如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:(1)PM=PN恒成立;(2)OM+ON的值不变;(3)四边形PMON的面积不变;(4)MN的长不变,其中正确的个数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
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【题目】已知:如图,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.
(1)求证:AE=EC;
(2)当∠ABC=60°,∠CEF=60°时,点F在线段BC上的什么位置?说明理由.
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【题目】已知下列命题:
①若a>b,则c﹣a<c﹣b;
②若a>0,则=a;
③对角线互相平分且相等的四边形是菱形;
④如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等.
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】在数学课外小组活动中,老师提出了如下问题:
如果一个不等式中含有绝对值,并且绝对值符号中含有未知数,我们把这个不等式叫做绝对值不等式,求绝对值不等式|x|>a(a>0)和|x|<a(a>0)的解集.
小明同学的探究过程如下:
先从特殊情况入手,求|x|>2和|x|<2的解集.确定|x|>2的解集过程如下:
先根据绝对值的几何定义,在数轴上找到到原点的距离大于2的所有点所表示的数,在数轴上确定范围如下:
所以,|x|>2的解集是x>2或 .
再来确定|x|<2的解集:同样根据绝对值的几何定义,在数轴上找到到原点的距离小于2的所有点所表示的数,在数轴上确定范围如下:
所以,|x|<2的解集为: .
经过大量特殊实例的实验,小明得到绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为 ,|x|<a(a>0)的解集为 .
请你根据小明的探究过程及得出的结论,解决下列问题:
(1)请将小明的探究过程补充完整;
(2)求绝对值不等式2|x+1|-3<5的解集.
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【题目】如图,现有一个大正方形和四个一样的小正方形,小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1,图2,图3三种图案:
(1)根据图1,图2中所标数据,求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米?
(2)若图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形,求大正方形中未被小正方形覆盖的阴影部分的面积.
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