Question

已知△ABC的三边a、b、c，其中a、b是关于x的方程x²-（c+6）x+6c+18=0的两个根．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）若

a

b

=

3

4

，求△ABC的三边长．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用,勾股定理,勾股定理的逆定理

专题：

分析：（1）根据根与系数的关系推知c²=a²+b²，则由勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形；
（2）由（1）知∠C=90°，根据正弦函数的定义得sinA=

a

c

，将它代入已知条件25a•sinA=9c，可得a=

3

5

c，再由勾股定理，得b=

4

5

c，然后把它们代入a+b=4+c，即可求出c的值，进而求出a、b的值．

解答：解：（1）∵a、b是关于x的方程x²-（4+c）x+4c+8=0的两个实数根，
∴a+b=4+c ①，
ab=4c+8 ②，
将①两边平方，得（a+b）²=（4+c）²，
∴a²+2ab+b²=16+8c+c²，
将②代入上式，得a²+2（4c+8）+b²=16+8c+c²，
整理，得a²+b²=c²，
∴∠C=90°，△ABC是直角三角形；

（2）∵25a•sinA=9c，sinA=

a

c

，
∴25a•

a

c

=9c，
∴5a=3c，a=

3

5

c，
由勾股定理，得b=

c2-a2

=

4

5

c．
∵a+b=4+c，
∴

3

5

c+

4

5

c=4+c，
解得c=10，
∴a=6，b=8．
故a、b、c的值分别为6，8，10．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的逆定理，三角函数，综合性较强，难度适中．