【题目】如图,抛物线的对称轴为直线x=2,抛物线与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,且点A的坐标为(-1,0).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)将抛物线图象x轴下方部分沿x轴向上翻折,保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象,得到的新图象与直线y=t恒有四个交点,从左到右四个交点依次记为D,E,F,G.当以EF为直径的圆过点Q(2,1)时,求t的值;
(3)在抛物线上,当m≤x≤n时,y的取值范围是m≤y≤7,请直接写出x的取值范围.
【答案】(1);(2)t的值为;(3)x的取值范围是或.
【解析】
(1)抛物线的对称轴是x=2,且过点A(-1,0)点,∴
,即可求解;
(2)翻折后得到的部分函数解析式为:y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5,(-1<x<5),新图象与直线y=t恒有四个交点,则0<t<9,由
解得:解得,,即可求解;
(3)分m、n在函数对称轴左侧、m、n在对称轴两侧、m、n在对称轴右侧时,三种情况分别求解即可.
(1)抛物线的对称轴是x=2,且过点A(-1,0)点,∴,解得:,
∴抛物线的函数表达式为:;
(2)解:∵,∴x轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为:=(-1<x<5),其顶点为(2,9).
∵新图象与直线y=t恒有四个交点,∴0<t<9.
设E(x1,y1),F(x2,y2).
由得,
解得,
∵以EF为直径的圆过点Q(2,1),∴,
即,解得.
又∵0<t<9,∴t的值为;
(3)x的取值范围是:或.
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【题目】如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,点E是AD的中点,连接BE,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:AF=DC;
(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四个三角形,使写出的每个三角形的面积等于△AEF面积的2倍.
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【题目】如图,已知抛物线的顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于C,D两点.点P是x轴上的一个动点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)当PA+PB的值最小时,求点P的坐标;
(3)抛物线上是否存在一点Q(Q与B不重合),使△CDQ的面积等于△BCD的面积?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】“世界读书日”前夕,某校开展了“读书助我成长”的阅读活动.为了了解该校学生在此次活动中课外阅读书籍的数量情况,随机抽取了部分学生进行调查,将收集到的数据进行整理,绘制出两幅不完整的统计图,请根据统计图信息解决下列问题:
(1)求本次调查中共抽取的学生人数;
(2)补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,阅读本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是 ;
(4)若该校有名学生,估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于本的学生有多少人?
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,D是AC中点,直线OD与⊙O相交于E,F两点,P是⊙O外一点,P在直线OD上,连接PA,PC,AF,且满足∠PCA=∠ABC.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)证明:;
(3)若BC=8,tan∠AFP=,求DE的长.
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【题目】如图,排球运动员站在点M处练习发球,将球从M点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足抛物线解析式.已知球达到最高2.6m的D点时,与M点的水平距离EM为6m.
(1)在图中建立恰当的直角坐标系,并求出此时的抛物线解析式;
(2)球网BC与点M的水平距离为9m,高度为2.43m.球场的边界距M点的水平距离为18m.该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界,你认为他的判断对吗?请说明理由.
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【题目】如图1,等腰梯形OABC的底边OC在x轴上,AB∥OC,O为坐标原点,OA = AB =BC,∠AOC=60°,连接OB,点P为线段OB上一个动点,点E为边OC中点.
(1)连接PA.PE,求证:PA=PE;
(2)连接PC,若PC+PE=2,试求AB的最大值;
(3)在(2)在条件下,当AB取最大值时,如图2,点M坐标为(0,-1),点D为线段OC上一个动点,当D点从O点向C点移动时,直线MD与梯形另一边交点为N,设D点横坐标为m,当△MNC为钝角三角形时,求m的范围.
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【题目】如图,抛物线与轴交于点,其对称轴为直线,结合图象分析下列结论:①;②;③当时,随的增大而增大;④一元二次方程的两根分别为,;⑤;⑥若,为方程的两个根,则且,其中正确的结论有( )
A. 个B. 个C. 个D. 个
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,AB=,点D是边BC上一点,点H是线段AD上一点,连接BH、CH.当∠BHD=60°,∠AHC=90°时,DH=_____.
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