Question

【题目】如图1，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB∥OC，O为坐标原点，OA = AB =BC，∠AOC=60°，连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边OC中点.

（1）连接PA.PE，求证：PA=PE；

（2）连接PC，若PC+PE=2，试求AB的最大值；

（3）在（2）在条件下，当AB取最大值时，如图2，点M坐标为（0，－1），点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形另一边交点为N，设D点横坐标为m，当△MNC为钝角三角形时，求m的范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）AB的最大值为2；（3）当0<m< 或<m<4时，△MNC为钝角三角形.

【解析】

（1）连接AE，先证明∠ABO=∠BOC，再证明△OAE为等边三角形即可得证；

（2）由PC+PE=2，可知PC+PA=2.根据三角形三边关系OB=AC≤PC+PA，列不等式即可；

（3）当AB取最大值时，AB=OA=BC=2，OC=4.分三种情况讨论：①当N点在OA上时，如图2，若CN⊥MN时，此时线段OA上N点下方的点（不包括N、O）均满足△MNC为钝角三角形。

②当N点在AB上时，不能满足△MNC为钝角三角形；@当N点在BC上时，如图3，若CN⊥MN时，此时BC上N点下方的点（不包括N、C）均满足△MNC为钝角三角形.

解：（1）证明：如图1，连接AE.

∵OA=AB..∠A0B=∠ABO.

∴AB∥OC，∠ABO=∠BOC.

∴∠AOC=60°，∠A0B=∠BOC=30°，∠0BC=90°

∵E为OC的中点，∴OC=2BC=2OA；△OAE为等边三角形

∴OB垂直平分线段AE

∴PA=PE.

(2)∵PC+PE= ，∴PC+PA=.

显然有OB=AC≤PC+PA=

在Rt△BOC中,设AB=OA=BC=x，则OC=2x，OB=，

∴≤，∴≤2.

即AB的最大值为2.

(3) 当AB取最大值时，AB=OA=BC=2，OC=4.

分三种情况讨论：

①当N点在OA上时，如图2，若CN⊥MN时，此时线段OA上N点下方的点（不包括N.O）均满足△MNC为钝角三角形.

过N作NF⊥x轴，垂足为F，

∵A点坐标为（1，），∴ 可设N点坐标为（a，a），

则DF=a－m，NF=a，FC=4－a.

∵△OMD∽△FND∽△FCN，

∴ .

解得， ，即当0<m<时，△MNC为钝角三角形

②当N点在AB上时，不能满足△MNC为钝角三角形；

③当N点在BC上时，如图3，若CN⊥MN时，此时BC上N点下方的点（不包括N.C）均满足△MNC为钝角三角形.

∵OB⊥BC, CN⊥MN,. MN//OB.

∴∠ODM=∠BOC=30°

∴ OM=1,. OD=m=.

∴当<m<4时，△MNC为钝角三角形.

综上所述，当0<m<或<m<4时，△MNC为钝角三角形.