Question

3．如图①，在△ABC中，CD，BD分别是∠ACB和∠ABC的平分线，且∠A=α．
（1）用含α的代数式表示∠BDC．
（2）若把图①中∠ACB的平分线CD改为∠ACB的外角的平分线（如图②），怎样用含α的代数式表示∠BDC？
（3）若把图①中“CD，BD分别是∠ACB和∠ABC的平分线”改成“CD，BD分别是∠ACB和∠ABC的外角的平分线”（如图③），怎样用含α的代数式表示∠BDC？

Answer 1

分析 （1）如图1，根据角平分线的定义得到∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，而根据三角形内角和得到有∠ABC+∠ACB=180°-α，所以∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，然后在△BCD中利用三角形内角和可表示出∠BDC；
（2）如图2，利用角平分线定义得到∠1=$\frac{1}{2}$∠ACE，∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC，再根据三角形外角性质得∠1=∠2+∠BDC，即$\frac{1}{2}$∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠BDC，加上∠ACE=∠ABC+α，易得∠BDC=$\frac{1}{2}$α；
（3）如图3，利用角平分线定义得到∠1=$\frac{1}{2}$∠EBC，∠2=$\frac{1}{2}$∠FCB，再根据三角形外角性质和平角定义得到∠EBC=∠ACB+α=180°-∠FCB+α，则2∠1=180°-2∠2+α，所以∠1+∠2=90°+$\frac{1}{2}$α，然后在△BCD中利用三角形内角和可表示出∠BDC．

解答 解：（1）如图1，
∵CD，BD分别是∠ACB和∠ABC的平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-α，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠BDC=180°-（∠1+∠2）=90°+$\frac{1}{2}$α；
（2）如图2，
∵CD平分∠ACE，BD平分∠ABC，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ACE，∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠1=∠2+∠BDC，
∴$\frac{1}{2}$∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠BDC，
∵∠ACE=∠ABC+α，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$α；
（3）如图3，
∵CD，BD分别是∠ACB和∠ABC的外角的平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠EBC，∠2=$\frac{1}{2}$∠FCB，
∵∠EBC=∠ACB+α=180°-∠FCB+α，
∴2∠1=180°-2∠2+α，
∴∠1+∠2=90°+$\frac{1}{2}$α，
∴∠BDC=180°-（∠1+∠2）=90°-$\frac{1}{2}$α．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°；它主要用在求三角形中角的度数．也考查了三角形外角性质．