Question

12．如图，在等边三角形ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，且AD、CE相交于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（2）若点D、E分别在BC、AB上运动，要想使结论（1）成立，请你猜想一下BD与AE应满足什么数量关系？并给出证明．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形三线合一的性质和高的性质即可证得∠AFE=60°；
（2）由∠AFE=60°=∠BAC，根据三角形外角的性质得出∠BAD=∠ACE，然后根据AAS证得△ABD≌△CAE即可证得BD=AE．

解答 解：（1）∵在等边三角形ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，∠AEC=90°，
∴∠AFE=90°-∠EAF=90°-30°=60°；
（2）BD=AE，
∵△ABC是等边△ABC，
∴∠B=∠BAC=60°，AB=BC，
∵∠AFE=60°，
∠AFE=∠BAC，
∵∠BEC=∠ACE+∠BAC=∠BAD+∠FAE，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ABD和△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠ACE}\\{∠ABD=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE．

点评 本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．