Question

如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，D是

BC

的中点，过点D作EF⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．若AE=4，AB=6，求线段DE的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理

专题：计算题

分析：作OH⊥AC于H，连结OD，BC，如图，根据圆周角定理得∠ACB=90°，再根据垂径定理，由D是

BC

的中点得到OD⊥BC，易得DE∥CG，OD⊥DE，而OH⊥AE，则四边形OHED为矩形，所以EH=OD=3，DE=OH，AH=AE-EH=1，在Rt△OHA中，根据勾股定理计算出OH=2

2

，即可得到DE=2

2

．

解答：解：作OH⊥AC于H，连结OD，BC，如图
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵D是

BC

的中点，
∴OD⊥BC，
∵EF⊥AC，
∴DE∥CG，
∴OD⊥DE，
而OH⊥AE，
∴四边形OHED为矩形，
∴EH=OD=3，DE=OH，
∴AH=AE-EH=4-3=1，
在Rt△OHA中，∵OA=3，AH=1，
∴OH=

OA2-AH2

=2

2

，
∴DE=2

2

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理．