Question

【题目】如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上异于A、B的一点，过C点的切线与BA的延长线交于D点，E为CD上一点，连接EA并延长交⊙O于H，F为EH上一点，且EF＝CE，CF交延长线交⊙O于G．

（1）求证：弧AG＝弧GH；

（2）若E为DC的中点，sim∠CDO＝，AH＝2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为3

【解析】

（1）连接AC，BC，根据AB为⊙O的直径，可得∠B+∠CAO＝90°，根据CD为⊙O的切线，可得∠ECA+∠ACO＝90°，再根据等边对等角和角的和差关系可得∠ACG＝∠GAF＝∠GCH，即可得证．

（2）过点E作EN⊥DA，连接OC，OG，OG与AH交于点M，设CO＝x，根据勾股定理、三角函数和相似三角形的性质列式求出x的值即可．

（1）证明：如图1，连接AC，BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B+∠CAO＝90°，

∵CD为⊙O的切线，

∴∠ECA+∠ACO＝90°，

∵OC＝OA，

∴∠ACO＝∠OAC，

∴∠ECA＝∠B，

∵EF＝CE，

∴∠ECF＝∠EFC，

∵∠ECF＝∠ECA+∠ACG，∠EFC＝∠GAF+∠G，

∵∠ECA＝∠B＝∠G，

∴∠ACG＝∠GAF＝∠GCH，

∴；

（2）解：过点E作EN⊥DA，连接OC，OG，OG与AH交于点M，

∵，

∴OG⊥AH，AM＝MH＝，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠DCO＝90°，

设CO＝x，

∵sin∠CDO＝＝，

∴DO＝3x，

∴，

∵E为DC的中点，

∴CE＝DE＝＝，

∴，

∴，

∴，

∵∠EAN＝∠OAM，∠ENA＝∠OMA，

∴△AEN∽△AOM，

∴，

∴，

∴OM＝，

在Rt△AOM中，OA＝．

∴⊙O的半径为3．