Question

【题目】已知点P（2，﹣3）在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数且a≠0）上，L交y轴于点C，连接CP．

（1）用a表示k，并求L的对称轴；

（2）当L经过点（4，﹣7）时，求此时L的表达式及其顶点坐标；

（3）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有5个整点，求a的取值范围；

（4）点M（x1，y1），N（x2，y2）是L上的两点，若t≤x1≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）k＝﹣3﹣a，x＝1；（2）y＝﹣x2+x﹣3，顶点坐标为（1，﹣）；（3）﹣6≤a＜﹣5；（4）﹣1≤t≤2

【解析】

（1）点代入抛物线上，则；抛物线的对称轴为直线，即；

（2）点，代入抛物线上，则有，解得，，即可求解；

（3）顶点坐标，时在指定区域内有5个整数点；

（4）当时，或；当时，或．

解：（1）∵点P（2，﹣3）在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数且a≠0）上，

∴﹣3＝4a﹣4a+a+k，

∴k＝﹣3﹣a；

抛物线的对称轴为直线，即；

（2）∵L经过点（4，﹣7），

∴16a﹣8a+a+k＝﹣7，

∵k＝﹣3﹣a，

，解得，，

∴L的表达式为y＝﹣x2+x﹣3；

，

∴顶点坐标为（1，﹣）；

（3）顶点坐标（1，﹣a﹣3），

∵在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有5个整点，

∴2＜﹣a﹣3≤3，

∴﹣6≤a＜﹣5；

（4）当a＞0时，t≥3或t+1≤﹣1，

∴t≥3或t≤﹣2；

代入检验，此时有不符合条件的点使y1≥y2，

故此情况舍去；

当a＜0时，t+1≤3且t≥﹣1，

∴﹣1≤t≤2；

综上所述，﹣1≤t≤2；