Question

【题目】已知：四边形ABCD中，AC为对角线，∠DAC＝∠BCA，且AD＝BC，CD⊥AD于点D。

（1）如图1，求证：四边形ABCD是矩形。

（2）如图2，点E和点F分别为边AB和边BC的中点，连接DE、DF分别交AC于点G和点H，连接BG，在不连接其它线段的情况下，请写出所有面积是△FHC面积的2倍的所有三角形。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△ADG，△DGH，△CDH，△ABG．

【解析】

（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，由∠D=90°，于是得到结论；
（2）根据矩形的性质得到AB=CD，根据相似三角形的性质得到AG=GH=CH，得到S△ADG=S△DGH=S△CDH，根据全等三角形的性质得到S△ABG=S△CDH，于是得到结论．

（1）证明：∵∠DAC=∠BCA，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CD⊥AD，
∴∠D=90°，
∴ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
∵点E和点F分别为边AB和边BC的中点，
∴AB=CD=2AE，AD=BC=2CF，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴△AEG∽△CDG，△CFH∽△ADH，
∴，

，
∴，S△CDH=2S△CHF，
∴AG=GH=CH，
∴S△ADG=S△DGH=S△CDH，
在△ABG与△CDH中，

，
∴△ABG≌△CDH（SAS），
∴S△ABG=S△CDH，
∴S△ADG=S△DGH=S△CDH=S△ABG=2S△CHF，
∴面积是△FHC面积的2倍的所有三角形是△ADG，△DGH，△CDH，△ABG．