【题目】已知:四边形ABCD中,AC为对角线,∠DAC=∠BCA,且AD=BC,CD⊥AD于点D。
(1)如图1,求证:四边形ABCD是矩形。
(2)如图2,点E和点F分别为边AB和边BC的中点,连接DE、DF分别交AC于点G和点H,连接BG,在不连接其它线段的情况下,请写出所有面积是△FHC面积的2倍的所有三角形。
【答案】(1)见解析;(2)△ADG,△DGH,△CDH,△ABG.
【解析】
(1)根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形,由∠D=90°,于是得到结论;
(2)根据矩形的性质得到AB=CD,根据相似三角形的性质得到AG=GH=CH,得到S△ADG=S△DGH=S△CDH,根据全等三角形的性质得到S△ABG=S△CDH,于是得到结论.
(1)证明:∵∠DAC=∠BCA,
∴AD∥BC,
∵AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵CD⊥AD,
∴∠D=90°,
∴ABCD是矩形;
(2)解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,
∵点E和点F分别为边AB和边BC的中点,
∴AB=CD=2AE,AD=BC=2CF,
∵AD∥BC,AB∥CD,
∴△AEG∽△CDG,△CFH∽△ADH,
∴,
,
∴,S△CDH=2S△CHF,
∴AG=GH=CH,
∴S△ADG=S△DGH=S△CDH,
在△ABG与△CDH中,
,
∴△ABG≌△CDH(SAS),
∴S△ABG=S△CDH,
∴S△ADG=S△DGH=S△CDH=S△ABG=2S△CHF,
∴面积是△FHC面积的2倍的所有三角形是△ADG,△DGH,△CDH,△ABG.
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【题目】如图,在正方形网格图中建立一直角坐标系,一条圆弧经过网格点A、B、C,请回答:
(1)该圆弧所在圆心D点的坐标为 ;
(2)扇形DAC的圆心角度数为 ;
(3)若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图,求该圆锥的高.(保留根号)
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点E,F分别在边BC,AC上,沿EF所在的直线折叠∠C,使点C的对应点D恰好落在边AB上,若△EFC和△ABC相似,则AD的长为___.
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【题目】我们定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”.
(1)已知:如图1,四边形ABCD是等对角四边形,∠A≠∠C,∠A=60°,∠B=75°,则:∠C= °,∠D= °;
(2)已知,如图2,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是等对角四边形,其中A(﹣2,0),C(2,0),B(-1,),点D在y轴上.
①若抛物线y=ax2+bx+c过点A,C,D,求二次函数的解析式;
②若抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过点A,C,点P在抛物线上,当满足∠APC=∠ADC的P点至少有3个时,总有不等式2n﹣
+
成立,求n的取值范围.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,点E是BC边上一点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,使点B落在点B′处.当△CEB′为直角三角形时,_____.
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【题目】某旅游景点的年游客量y(万人)是门票价格x(元)的一次函数,其函数图像如下图.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)经过景点工作人员统计发现:每卖出一张门票所需成本为20元.那么要想获得年利润11500万元,且门票价格不得高于230元,该年的门票价格应该定为多少元?
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【题目】已知关于x的方程x2+(m+2)x+2m-1=0.
(1)求证方程有两个不相等的实数根.
(2)当m为何值时,方程的两根互为相反数?并求出此时方程的解.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,若点E,F分别在AB,CD上,且BE=2AE,DF=2FC,G,H分别是AC的三等分点,则四边形EHFG的面积为( )
A. 1B. C. 2D. 4
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