Question

【题目】我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

（1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A＝60°，∠B＝75°，则：∠C＝　 　°，∠D＝　 　°；

（2）已知，如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是等对角四边形，其中A（﹣2，0），C（2，0），B（-1，），点D在y轴上．

①若抛物线y＝ax2+bx+c过点A，C，D，求二次函数的解析式；

②若抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A，C，点P在抛物线上，当满足∠APC＝∠ADC的P点至少有3个时，总有不等式2n﹣+成立，求n的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）150，75；（2）①y＝﹣x2+2；②n≤．

【解析】

（1）∠A≠∠C，∠A=60°，∠B=75°，则∠B=75°=∠D，四边形的内角和为360°，故∠C=150°，即可求解；
（2）①证明△ACD为等腰直角三角形，故点D（0，2），即可求解；
②以D（0，2）为圆心，AD长为半径作⊙D，以D’（0，-2）为圆心，AD长为半径作⊙D’，如图所示，⊙D交y轴正半轴于点E，⊙D′交y轴负半轴于点F，当点P在优弧AEC和优弧AFC上时，∠APC=∠ADC，当抛物线过E点时满足题意的P点有3个，即可求解．

（1）∠A≠∠C，∠A=60°，∠B=75°，则∠B=75°=∠D，
四边形的内角和为360°，故∠C=150°，
故答案为：150，75；
（2）①如图2，过点B作BH⊥x轴于点H，

则AH=OH=1，BH=，HC=3，
故tan∠HAB==tan∠HBC，
则∠BAH=∠CHB=60°，∴∠ABC=90°，
而∠DAO=∠DCO，∠CAB=60°，∠BCA=30°，
∴∠DAB≠∠DCB，故∠ADC=∠ABC=90°，
故△ACD为等腰直角三角形，故点D（0，2），
则抛物线的表达式为：y=ax2+2，
将点A的坐标代入上式并解得：a=-，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2；
②∵A（-2，0）、C（2，0）、B（-1，-），
∴AB=2，BC=2，AC=4，
∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，
∵AD=CD，AB≠BC，
∴∠BAD≠∠BCD，
∵四边形ABCD是“等对角四边形”
∴∠ADC=∠ABC=90°，∴D（0，2）
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A、C，
∴y=a（x+2）（x-2）=ax2-4a，
即：a=-c，令t=2c2+16a-8，
则t=2c2-4c-8，


以D（0，2）为圆心，AD长为半径作⊙D，以D′（0，-2）为圆心，AD长为半径作⊙D′，
如图所示，⊙D交y轴正半轴于点E，⊙D′交y轴负半轴于点F．

当点P在优弧AEC和优弧AFC上时，∠APC=∠ADC，当抛物线过E点时满足题意的P点有3个，
此时，c=OE=OD+ED=2+2，
当满足∠APC=∠ADC的P点至少有3个时，c≥2+2，
当c≥2+2时，t=2c2-4c-8≥16，
∵总有不等式2n-≤2c2+16a-8成立
∴2n-≤16，
解得：n≤．