Question

【题目】如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点，．

探究：判断的形状，并说明理由；

发现：与之间有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，不必说明理由．

Answer 1

【答案】探究：△AEF是等边三角形，理由见解析；发现：DO=AD

【解析】

（1）根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等三角形的性质得到AE=AF，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；

（2）根据等边三角形的性质、30°角所对直角边等于斜边的一半计算即可．

探究：△AEF是等边三角形．理由如下：

∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°．

在Rt△AED和Rt△AFD中，

∵，

∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，

∴AE=AF．

∵∠BAC=60°，

∴△AEF是等边三角形．

发现：DO=AD．理由如下：

∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC=60°，

∴∠EAD=30°，

∴DE=AD．

∵△AEF是等边三角形，AD为△ABC的角平分线，

∴∠AEF=60°，AD⊥EF．

∵DE⊥AB，

∴∠DEA=90°，

∴∠DEO=30°，

∴OD=DE，

∴DO=AD．