Question

【题目】图形的折叠即图形的翻折或者说是对称变换.这类问题与生活紧密联系，内容丰富，解法灵活，具有开放性，可以培养我们的动手能力，空间想象能力和几何变换的思想.在综合与实践课上，每个小组剪了一些如图1所示的直角三角形纸片（，，），并将纸片中的各内角进行折叠操作：

（1）如图2，“奋斗”小组将纸片中的进行折叠，使直角边落在斜边上，点落在点位置，折痕为，则的长为______.

（2）如图3，“勤奋”小组将中的进行折叠，使点落在直角边中点上，折痕为，则的长为______.

（3）如图4，“雄鹰”小组将纸片中的进行折叠，使点落在直角边延长线上的点处，折痕为，求出的长.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）；（3）长为.

【解析】

（1）设CD为xcm，则BD=BC-CD=（8-x）cm，利用折叠的性质表示出DE、BE，在Rt△BDE中，利用勾股定理得，得到一个关于x的方程，解出即可.

（2）设BD为ycm，则CD=BC-BD=（8-y）cm. 利用折叠的性质表示出DE、CE、DE,在Rt△CDE中，，得到一个关于y的方程，解出即可.

（3）在中，利用勾股定理求AB，进而利用折叠的性质求BE，CE，设，则，，在中，根据勾股定理得，

可得，解出即可.

解：（1）设CD为xcm，则BD=BC-CD=（8-x）cm.

∵纸片中的进行折叠，使直角边落在斜边上，点落在点位置

∴DE=CD=xcm,AE=AC=6cm,BE=AB-AE=10-6=4cm

∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得

解得x=3cm

（2）设BD为ycm，则CD=BC-BD=（8-y）cm.

∵中的进行折叠，使点落在直角边中点上，折痕为

∴DE=BD=ycm,CE= =6cm

∴在Rt△CDE中，利用勾股定理得

解得y=cm

（3）在中，

，

根据折叠的性质可知：，

∵，

∴，

设，则，，

在中，根据勾股定理得

，

即，

解得，

即长为.