Question

【题目】定义：对于函数y，我们称函数叫做函数|y|的正值函数．例如：函数y的正值函数为y=||．

如图，曲线y(x＞0)请你在图中画出y=x+3的正值函数的图象．

（1）写出y=x+3的正值函数的两条性质；

（2）y=x+3的正值函数的图象与x轴、y轴、曲线y(x＞0)的交点分别是A，B，C．点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与正值函数图象交于另一点E，与曲线交于点P．

①试求△PAD的面积的最大值；

②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①图象与x轴交于(﹣3，0)，②当x＜﹣3时，y随x的增大而减小；（2）①m时，△PAD的面积最大，最大值为；②能，D(﹣1，2)．

【解析】

（1）利用描点法画出y=x+3的正值函数为y=|x+3|的图形即可；
（2）①设D（m，m+3），则P（，m+3），利用三角形的面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可；

②如图2中，连接EC．假设四边形APCE是平行四边形，则AD=CD，求出点E，P的坐标，再验证是不是平行四边形即可．

（1）y=x+3的正值函数为y=|x+3|，函数图象如图所示：

函数y=|x+3|的性质：①图象与x轴交于（﹣3，0）．

②当x＜﹣3时，y随x的增大而减小．

③当x＞﹣3时，y随x的增大而增大．

（2）①如图2中，

设D（m，m+3），则P（，m+3），

∴PDm，

∴S△APD（）（m+3）（m2+3m﹣4）（m）2，

∵0，

∴m时，△PAD的面积最大，最大值为．

②如图2中，连接EC．假设四边形APCE是平行四边形，则AD=CD．

∵A（﹣3，0），C（1，4），

∴D（﹣1，2），

∴P（2，2），E（﹣5，2），

∴DE=DP=3．

∵DE=DP，AD=DC，

∴四边形APCE是平行四边形，符合条件．

【点晴】

考查了反比例函数的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建二次函数解决最值问题．