【题目】如图,在矩形ABCD中,AD=6,AE⊥BD,垂足为E,ED=3BE,点P、Q分别在BD,AD上,则AP+PQ的最小值为( )
A.2
B.
C.2
D.3
【答案】D
【解析】解:
设BE=x,则DE=3x,
∵四边形ABCD为矩形,且AE⊥BD,
∴△ABE∽△DAE,
∴AE2=BEDE,即AE2=3x2 ,
∴AE= x,
在Rt△ADE中,由勾股定理可得AD2=AE2+DE2 , 即62=( x)2+(3x)2 , 解得x= ,
∴AE=3,DE=3 ,
如图,设A点关于BD的对称点为A′,连接A′D,PA′,
则A′A=2AE=6=AD,AD=A′D=6,
∴△AA′D是等边三角形,
∵PA=PA′,
∴当A′、P、Q三点在一条线上时,A′P+PQ最小,
又垂线段最短可知当PQ⊥AD时,A′P+PQ最小,
∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=3 ,
故选D.
【考点精析】关于本题考查的矩形的性质和轴对称-最短路线问题,需要了解矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等;已知起点结点,求最短路径;与确定起点相反,已知终点结点,求最短路径;已知起点和终点,求两结点之间的最短路径;求图中所有最短路径才能得出正确答案.
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【题目】我国古代《易经》一书中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”.如图,一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结,满七进一,用来记录孩子自出生后的天数,由图可知,孩子自出生后的天数是( )
A.84
B.336
C.510
D.1326
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【题目】如图,点O是线段AB上的点,点C,D分别是线段OA,OB的中点,小明很轻松地求得CD=AB.他在反思过程中突发奇想:若点O在线段AB的延长线上或在直线AB外,则原有的结论“CD=AB”仍然成立吗?请帮小明解决此问题(当点O在线段AB的延长线上时,请画图分析该结论是否成立,并说明理由;当点O在直线AB外时,作出图形,通过度量说明该结论是否成立).
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【题目】我们规定:若 =(a,b), =(c,d),则 =ac+bd.如 =(1,2), =(3,5),则 =1×3+2×5=13.
(1)已知 =(2,4), =(2,﹣3),求 ;
(2)已知 =(x﹣a,1), =(x﹣a,x+1),求y= ,问y= 的函数图象与一次函数y=x﹣1的图象是否相交,请说明理由.
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【题目】已知反比例函数y= .
(1)若该反比例函数的图象与直线y=kx+4(k≠0)只有一个公共点,求k的值;
(2)如图,反比例函数y= (1≤x≤4)的图象记为曲线C1 , 将C1向左平移2个单位长度,得曲线C2 , 请在图中画出C2 , 并直接写出C1平移至C2处所扫过的面积.
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【题目】如图所示,港口B位于港口O正西方向120km处,小岛C位于港口O北偏西60°的方向.一艘游船从港口O出发,沿OA方向(北偏西30°)以vkm/h的速度驶离港口O,同时一艘快艇从港口B出发,沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C,在小岛C用1h加装补给物资后,立即按原来的速度给游船送去.
(1)快艇从港口B到小岛C需要多长时间?
(2)若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h,求v的值及相遇处与港口O的距离.
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