Question

如图，已知抛物线经过点 A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式．

点 M 是线段 BC 上的点（不与 B，C 重合），过 M 作 MN^∥y 轴交抛物线于 N，若点 M 的横坐标为

m，请用 m 的代数式表示 MN 的长．

（3）在的条件下，连接 NB、NC，是否存在 m，使^△BNC 的面积最大？若存在，求 m 的值；若不 存在，说明理由．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题；数形结合．

【分析】（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式． 先利用待定系数法求出直线 BC 的解析式，已知点 M 的横坐标，代入直线 BC、抛物线的解析式中， 可得到 M、N 点的坐标，N、M 纵坐标的差的绝对值即为 MN 的长．

^{（3）设 MN 交 x 轴于 D，那么△BNC 的面积可表示为：S}△BNC^=S△MNC^+S△MNB^{=MN（OD+DB）}

= MN•OB，MN 的表达式在中已求得，OB 的长易知，由此列出关于 S^△BNC、m 的函数关系式， 根据函数的性质即可判断出^△BNC 是否具有最大值．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：

a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；

^∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x²+2x+3． 设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，则有：

；

故直线 BC 的解析式：y=﹣x+3．

已知点 M 的横坐标为 m，MN^∥y，则 M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m²+2m+3）；

^∴故 MN=﹣m²+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m²+3m（0＜m＜3）．

（3）如图；