Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若，则称P为⊙T的环绕点．

(1)当⊙O半径为1时，

①在中，⊙O的环绕点是_________;

②直线y=2x+b与x轴交于点A，y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；

(2)⊙T的半径为1，圆心为（0，t），以为圆心，为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）①；②b的取值范围为或；（2）

【解析】

（1）①由环绕点定义即可得出答案；

②半径为1的⊙O的所有环绕点在以O为圆心，半径分别为1和2的两个圆之间（如下图阴影部分所示，含大圆，不含小圆）. 分情况讨论：当点B在y轴正半轴上时，如图1，图2所示，此时考虑以下两种特殊情况：线段AB与半径为2的⊙O相切时，；

当点B经过半径为1的⊙O时，.因为线段AB上存在⊙O的环绕点，由环绕点定义可得b的取值范围；当点B在y轴负半轴上时，如图3，图4所示.也可得b的取值范围;

（2）.

（1）①

②半径为1的⊙O的所有环绕点在以O为圆心，半径分别为1和2的两个圆之间（如下图阴影部分所示，含大圆，不含小圆）.

ⅰ)当点B在y轴正半轴上时，如图1，图2所示.

考虑以下两种特殊情况：线段AB与半径为2的⊙O相切时，；

当点B经过半径为1的⊙O时，.

因为线段AB上存在⊙O的环绕点，所以可得b的取值范围为 ；

②当点B在y轴负半轴上时，如图3，图4所示.

同理可得b的取值范围为 .

综上，b的取值范围为或

（2）.